Satz von Vieta
Formel
Satz von Vieta
Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die sogenannte "faktorisierte" Darstellung hat den Vorteil, dass man die Lösungen der Gleichung, bzw. die Nullstellen der Funktion direkt ohne weiterer Rechnung ablesen kann
Satz von Vieta (Allgemeine Form)
Der Satz von Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a, b und c und den Lösungen bzw. Nullstellen x1 und x2 der Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit: }}a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)
Die bekannten Koeffizienten a, b und c hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen
\( - \dfrac{b}{a} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\(\dfrac{c}{a} = \left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right)\)
Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x1 und x2 einfach ausrechnen.
Satz von Vieta (Normalform)
Der Satz von Vieta für quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q und den Lösungen bzw. Nullstellen x1 und x2 der zugrunde liegenden Funktion bzw. Gleichung.
\({x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R}\)
Die bekannten Koeffizienten p und q hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen
\( - p = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\(q = {x_1} \cdot {x_2}\)
Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x1 und x2 einfach ausrechnen.
Faktorisieren
Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt aus zwei oder mehr Faktoren umgewandelt. Enthalten alle Summanden eines Summen- bzw. Differenzenterms den gemeinsamen Faktor a, so kann man diesen herausheben.
\(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)
Zerlegung in Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades
Unter Verwendung der mit Hilfe vom Satz von Vieta ermittelten Nullstellen x1 und x2 kann man die quadratische Gleichung nunmehr in Linearfaktoren zerlegt anschreiben.
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
\({x^2} + px + q = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung
Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x1, x2 der zugrunde liegenden Funktion in den geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
- Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
- Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.
Linearfaktorzerlegung für Polynome n-ten Grads
Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)
→ Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.
Die Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung ist folgende:
Wenn man alle Nullstellen xi bereits kennt, kann man die Linearfaktoren direkt anschreiben.
Wenn man die Nullstellen noch nicht kennt, versucht man eine Nullstelle x1 und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x1) zu erraten. Anschließend dividiert man das Ausgangspolynom pn durch den Linearfaktor. Das Restpolynom pn-1 hat sich gegenüber dem Ausgangspolynom um einen Grad erniedrigt und man kennt bereits einen Linearfaktor bzw. eine Nullstelle vom Ausgangspolynom.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot {p_{n - 1}}\left( x \right) \cr} \)
Nun versucht man vom Restpolynom pn-1 wieder eine Nullstelle x2 und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x2) zu erraten, usw. Irgendwann bleibt ein Restglied über, welches selbst keine Nullstelle besitzt.
Hornersche Regel zur Linearfaktorzerlegung
Die hornersche Regel funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet. Sie hilft dabei, den Grad vom Polynom um 1 zu reduzieren, wodurch man schon mal eine Nullstelle gefunden hat und der verbleibende Rest vom Polynom einfacher zu faktorisieren ist, um alle Nullstellen (Lösungen) zu erhalten.
\(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)
Horner'sches Schema zur Linearfaktorzerlegung
Beim hornerschen Schema handelt es sich um ein Umformungsverfahren um einfach die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Dazu muss man versuchen, eine Nullstelle zu erraten.
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Wissenspfad
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Aktuelle Lerneinheit
Satz von Vieta | Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die Linearfaktorzerlegung erlaubt es (quadratische) Gleichungen mit Hilfe ihrer Nullstellen als Produkt anzuschreiben. |
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Lineare Gleichung mit einer Variablen | In einer linearen Gleichung mit einer Variablen kommt die einzige Variable lediglich zur ersten Potenz vor.
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Quadratischen Gleichung mit einer Variablen | In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört. |
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1027
AHS - 1_027 & Lehrstoff: AN 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ermittlung einer Funktionsgleichung
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = {x^2} + bx + c{\text{ mit }}b,\,\,c \in \mathbb{R}\). Der Graph der Funktion f verläuft durch den Ursprung. Die Steigung der Funktion im Ursprung hat den Wert null.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Werte der Parameter b und c und geben Sie die Gleichung der Funktion f an!
Aufgabe 1737
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung \({x^2} + r \cdot x + s = 0{\text{ in }}x \in {\Bbb R}{\text{ mit }}r,s \in {\Bbb R}\)
- Lösungsfall 1: Die quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung.
- Lösungsfall 2: Die quadratische Gleichung hat nur eine reelle Lösung \(x = - \dfrac{r}{2}\)
- Lösungsfall 3: Die quadratische Gleichung hat die reellen Lösungen \({x_1} = 0{\text{ und }}{x_2} = - r\)
- Lösungsfall 4: Die quadratische Gleichung hat die reellen Lösungen \({x_1} = - \sqrt { - s} {\text{ und }}{x_2} = \sqrt { - s} \)
- Aussage A: \(\dfrac{{{r^2}}}{4} = s\)
- Aussage B: \(\dfrac{{{r^2}}}{4} - s > 0{\text{ mit }}r,s \ne 0\)
- Aussage C: \(r \in {\Bbb R},\,\,\,\,\,s > 0\)
- Aussage D: \(r = 0;\,\,\,\,\,s < 0\)
- Aussage E: \(r \ne 0;\,\,\,\,\,s = 0\)
- Aussage F: \(r = 0;\,\,\,\,\,s > 0\)
Aufgabenstellung [0 / 0,5 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ordnen Sie den vier Lösungsfällen 1, 2, 3 und 4 jeweils diejenige Aussage über die Parameter r und s (aus A bis F) zu, bei der stets der jeweilige Lösungsfall vorliegt.
Aufgabe 1490
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({x^2} + p \cdot x - 12 = 0\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie denjenigen Wert für p, für den die Gleichung die Lösungsmenge \(L = \left\{ { - 2;\,\,6} \right\}\) hat!
Aufgabe 1639
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form \({x^2} + a \cdot x = 0\) in x mit \(a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie denjenigen Wert für a, für den die gegebene Gleichung die Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\) hat.
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Aufgabe 1237
AHS - 1_237 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Nullstellen einer Funktion
Eine Funktion ist durch die Gleichung \(f\left( x \right) = x \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)\) gegeben.
Aufgabenstellung:
Kennzeichnen Sie im gegebenen Koordinatensystem alle Nullstellen des Funktionsgraphen durch Punkte!
Aufgabe 217
Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
\(4{x^3} - 8{x^2} + x - 2 = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
Aufgabe 218
Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
\({x^3} - 4{x^2} + x + 6 = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
Aufgabe 219
Faktorisieren durch Herausheben
Löse die Gleichung durch „teilweises Herausheben“
\(4{x^3} - 8{x^2} + x - 2 = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
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Aufgabe 1639
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form \({x^2} + a \cdot x = 0\) in x mit \(a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie denjenigen Wert für a, für den die gegebene Gleichung die Lösungsmenge \(L = \left\{ {0;\dfrac{6}{7}} \right\}\) hat.
Aufgabe 1371
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({\left( {x - 7} \right)^2} = 3 + c{\text{ mit x}} \in {\Bbb R}{\text{ und c}} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie den Wert des Parameters c so an, dass diese quadratische Gleichung in ℝ genau eine Lösung hat!
c= ___
Aufgabe 6007
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften eruieren
Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge \(\left] { - \infty ;5} \right]\)
Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften besitzt.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Funktion k hat in x=2 eine Nullstelle und in x=-3 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Gleichung y =1 als Asymptote.
Aufgabe 220
Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit Hilfe der Horner’schen Regel:
\(\left( {{x^3} - 8} \right) = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
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