Faktorisierte Darstellung einer quadratischen Gleichung

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die sogenannte "faktorisierte" Darstellung hat den Vorteil, dass man die Lösungen der Gleichung, bzw. die Nullstellen der Funktion direkt ohne weiterer Rechnung ablesen kann

Satz von Vieta (Allgemeine Form)

Der Satz von Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a, b und c und den Lösungen bzw. Nullstellen x₁ und x₂ der Gleichung

\(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit: }}a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

Die bekannten Koeffizienten a, b und c hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

\( - \dfrac{b}{a} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(\dfrac{c}{a} = \left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right)\)

​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x₁ und x₂ einfach ausrechnen.

Satz von Vieta (Normalform)

Der Satz von Vieta für quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q und den Lösungen bzw. Nullstellen x₁ und x₂ der zugrunde liegenden Funktion bzw. Gleichung.

\({x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R}\)

Die bekannten Koeffizienten p und q hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

\( - p = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(q = {x_1} \cdot {x_2}\)

​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x₁ und x₂ einfach ausrechnen.

Faktorisieren

Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt aus zwei oder mehr Faktoren umgewandelt. Enthalten alle Summanden eines Summen- bzw. Differenzenterms den gemeinsamen Faktor a, so kann man diesen herausheben.

\(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)

Zerlegung in Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades

Unter Verwendung der mit Hilfe vom Satz von Vieta ermittelten Nullstellen x₁ und x₂ kann man die quadratische Gleichung nunmehr in Linearfaktoren zerlegt anschreiben.
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

\({x^2} + px + q = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung

Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x₁, x₂ der zugrunde liegenden Funktion in den geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)

Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
 

• Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
• Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.

Linearfaktorzerlegung für Polynome n-ten Grads

Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)

→ Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.

Die Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung ist folgende:

Wenn man alle Nullstellen x_i bereits kennt, kann man die Linearfaktoren direkt anschreiben.

Wenn man die Nullstellen noch nicht kennt, versucht man eine Nullstelle x₁ und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x₁) zu erraten. Anschließend dividiert man das Ausgangspolynom p_n durch den Linearfaktor. Das Restpolynom p_n-1 hat sich gegenüber dem Ausgangspolynom um einen Grad erniedrigt und man kennt bereits einen Linearfaktor bzw. eine Nullstelle vom Ausgangspolynom.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot {p_{n - 1}}\left( x \right) \cr} \)

Nun versucht man vom Restpolynom p_n-1 wieder eine Nullstelle x₂ und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x₂) zu erraten, usw. Irgendwann bleibt ein Restglied über, welches selbst keine Nullstelle besitzt.

Hornersche Regel zur Linearfaktorzerlegung

Die hornersche Regel funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet. Sie hilft dabei, den Grad vom Polynom um 1 zu reduzieren, wodurch man schon mal eine Nullstelle gefunden hat und der verbleibende Rest vom Polynom einfacher zu faktorisieren ist, um alle Nullstellen (Lösungen) zu erhalten.

\(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)

Horner'sches Schema zur Linearfaktorzerlegung

Beim hornerschen Schema handelt es sich um ein Umformungsverfahren um einfach die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Dazu muss man versuchen, eine Nullstelle zu erraten.