Aufgabe 1371
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({\left( {x - 7} \right)^2} = 3 + c{\text{ mit x}} \in {\Bbb R}{\text{ und c}} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie den Wert des Parameters c so an, dass diese quadratische Gleichung in ℝ genau eine Lösung hat!
c= ___
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle.
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\), , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
Damit eine quadratische Gleichung nur eine Lösung hat, müssen die beiden Lösungen zusammenfallen, es muss sich also um eine doppelte Nullstelle handeln.
Betrachten wir die linke Seite der Gleichung: Man nennt dies eine „faktorisierte Darstellung“, die den Vorzug hat, dass man die Nullstellen am geklammerten Term sofort ablesen kann.
Bei der gegebenen Gleichung liegt die doppelte Nullstelle (wegen des Quadrats für den Klammerausdruck) an der Stelle x=7. Wenn aber die linke Seite der Gleichung Null ist, dann muss auch die rechte Seite der Gleichung Null sein, woraus sich c=-3 als Lösung ergibt.
\(\eqalign{ & {\left( {x - 7} \right)^2} = 3 + c{\text{ mit x}} \in {\Bbb R}{\text{ und c}} \in {\Bbb R} \cr & {x_{1,2}} = 7 \cr & {\left( {{x_{1,2}} - 7} \right)^2} = 0 = 3 + c \to c = - 3 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
c=-3
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.