Gleichungen

Gleichung
Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Man unterscheidet Gleichungen nach 

• Anzahl der Variablen:
  Die Anzahl der Variablen muss gleich der Anzahl der von einander unabhängigen Gleichungen sein, damit das Gleichungssystem sicher eindeutig lösbar ist
  • keine Variable: Eine Gleichung ohne Variable ist eine triviale Aussage. Hier kann man nur prüfen ob es sich bei der Gleichung um eine wahre Aussage handelt, oder nicht
    Beispiel:
    \(1 + 3 = 4\)
  • eine Variable: Eine Gleichung mit einer Variablen formt man so um, dass die Variable explizit wird.
    Beispiel:
    \(x + 3 = 5 \to x = 2\)
  • mehrere Variable: Gibt es zwei oder mehrere Variablen, so muss es auch zwei oder mehrere Gleichungen geben. Dann spricht man von einem Gleichungssystem. Die Lösung muss alle Gleichungen erfüllen
    Beispiel:
    \(\eqalign{ & {a_{11}} \cdot {x_1} + {a_{12}} \cdot {x_2} + ... + {a_{1n}} \cdot {x_n} = {c_1} \cr & {a_{21}} \cdot {x_1} + {a_{22}} \cdot {x_2} + ... + {a_{2n}} \cdot {x_n} = {c_2} \cr & ... \cr & {a_{m1}} \cdot {x_1} + {a_{m2}} \cdot {x_2} + ... + {a_{mn}} \cdot {x_n} = {c_m} \cr} \)
    • m = Anzahl der linearen (unabhängigen) Gleichungen
    • n = Anzahl der Variablen x
      • m=n → das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
      • m>n → überbestimmtes Gleichungssystem
        Es gibt mehr Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem kann eindeutig lösbar sein
      • m<n → unterbestimmtes Gleichungssystem
        Es gibt weniger Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar
      • c_x=0 → homogene Gleichung
      • c_x≠0 → inhomogene Gleichung
• Grad der Variablen
  Der Grad der Gleichung entspricht der Anzahl der Lösungen (siehe: Fundamentalsatz der Algebra)
  • lineare Gleichung → Grad = 1 
    Lineare Gleichungen in einer Variablen sind eindeutig lösbar, d.h. sie haben genau eine Lösung.
    Beispiel:
    \(a \cdot x + b = 0\) → \(x_1 = - \dfrac{b}{a}\)
  • quadratische Gleichung → Grad = 2
    Beispiel:
    \({x^2} = 9 \to {x_{1,2}} = \root 2 \of 9 = \pm 3\)
  • Gleichung höheren Grades → Grad >2
    Beispiel:
    \({x^3} = 27 \to {x_{1,2,3}} = \root 3 \of {27} = 3\)
• Darstellung der Variablen
  Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. Man spricht dann von der expliziten Darstellung, andernfalls von der impliziten Darstellung.
  • Explizite Darstellung: 
    Bei der expliziten Darstellung steht die Variable x alleine auf einer Seite vom Gleichheitszeichen
    Beispiel: 
    \(x = - \dfrac{b}{a}\)
  • Implizite Darstellung: 
    Bei der impliziten Darstellung seht die Variable x in Form eines Terms auf einer oder auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen. Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable alleien auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
    Beispiel.
    \(a \cdot x + b = 0\)

Lösung einer Gleichung, bzw. eines Gleichungssystems
Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. Pro Variable benötigt man genau eine unabhängige Gleichung.

Beispiel: 
\(1 + x = 3 \to x = 2 \to 1 + 2 = 3{\text{ wahre Aussage}}\)