Sinussatz
Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Allgemeines Dreieck
Ein allgemeines Dreieck erhält man, indem man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken verbindet.
\(\begin{array}{l} a \ne b \ne c\\ \gamma \ne 90^\circ \end{array}\)
- Mit drei Bestimmungsstücken (Seitenlänge, Innenwinkel), von denen mindestens eines eine Seitenlänge sein muss, ist ein Dreieck eindeutig definiert
- Rechtwinkelige Dreiecke sind in der technischen Praxis der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Dreiecke. Nur für diesen Spezialfall gilt der Satz des Pythagoras. Mit Hilfe der Höhen kann man allgemeine Dreiecke in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen.
- Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber
- Mindestens zwei der drei Innenwinkel sind spitze Winkel
Beschriftung im allgemeinen Dreieck
Im allgemeinen Dreieck ist es üblich, die Dreieckseiten mit a, b und c zu beschriftet. Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse – mit „c“ zu bezeichnen. Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung, d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben sind:
- Der Seite „a“ gegenüber liegt der Winkel „\(\alpha\)“
- Der Seite „b“ gegenüber liegt der Winkel „\(\beta\)“
- Der Seite „c“ gegenüber liegt der Winkel „\(\gamma\)“
- Die Winkel und die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet
Illustration zur Beschriftung im allgemeinen Dreieck
Dreiecksungleichungen
Die Dreiecksungleichungen besagen, dass die Summe zweier Seitenlängen immer größer ist, als die dritte Seite
\(a + b > c;\,\,\,\,\,a + c > b;\,\,\,\,\,b + c > a\)
Winkelsumme im allgemeinen Dreieck
- Innenwinkel: Die Summe aller 3 Innenwinkel beträgt 180°
\(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \) - Außenwinkel: Die Summe aller 3 Außenwinkel beträgt 360°
- Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel (er ergänzt den Innenwinkel auf 180°) ist immer gleich groß, wie die Summe der zwei nicht anliegenden Innenwinkel
Illustration zur Winkelsumme im allgemeinen Dreieck
Sinussatz
Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.
Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.
\(\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }}\)
Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.
Kosinussatz
Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Wichtig: Der Kosinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz für Dreiecke MIT rechtem Winkel. Man sieht das auch sofort, da der Subtrahend im Kosinussatz zu null wird, weil der Kosinus von 90° null ist. Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.
\(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \left( {\angle ac} \right)\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos \left( {\angle ab} \right) \end{array}\)
Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.
Umfang eines allgemeinen Dreiecks
Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)
Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks
Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)
Trigonometrische Flächenformel
Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus dem halben Produkt zweier Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels:
\(A = \dfrac{{b \cdot c}}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{{a \cdot c}}{2} \cdot \sin \beta = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \gamma\)
Heron'sche Flächenformel
Die Heron'sche Flächenformel dient zur Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks, wenn alle 3 Seitenlängen a, b und c gegeben sind. Man erspart es sich dabei den Zwischenschritt, eine der Dreieckshöhen auszurechnen.
\(\begin{array}{l} s = \dfrac{{a + b + c}}{2}\\ A = \sqrt {s \cdot \left( {s - a} \right) \cdot \left( {s - b} \right) \cdot \left( {s - c} \right)} \end{array}\)
Aufteilung eines allgemeinen Dreiecks in zwei rechtwinkelige Dreiecke
Mit Hilfe der Höhen ist es möglich aus einem allgemeinen Dreieck zwei rechtwinkelige Dreiecke zu machen, für die dann wieder der Satz vom Pythagoras gilt.
\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \gamma = c \cdot \sin \beta \cr & {h_b} = c \cdot \sin \alpha = a \cdot \sin \gamma \cr & {h_c} = a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha \cr} \)
Für die Gültigkeit obiger Formeln muss die Seite c nicht die Hypotenuse sein, der Seite a muss aber der Winkel \(\alpha \) gegenüber liegen, usw.
Illustration eines allgemeinen Dreiecks, welches entlang der Höhe hb in zwei rechtwinkelige Dreiecke aufgeteilt wird
Umkreisradius vom allgemeinen Dreieck
Jedes allgemeine Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt auf der Streckensymmetrale liegt. Bei spitzwinkeligen Dreiecken liegt er im Dreiecksinneren, bei rechtwinkeligen Dreiecken liegt er am Mittelkreis der Hypotenuse und bei einem Dreieck bei dem ein Winkel größer als 90° ist, liegt er außerhalb vom Dreieck.
\({r_U} = \dfrac{a}{{2 \cdot \sin \alpha }} = \dfrac{b}{{2 \cdot \sin \beta }} = \dfrac{c}{{2 \cdot \sin \gamma }} = \dfrac{{a \cdot b \cdot c}}{{4 \cdot A}}\)
Illustration vom Umkreis eines allgemeinen Dreiecks
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Aufgaben
Aufgabe 4026
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Prismen und Linsen - Aufgabe B_411
Teil b
Ein Strahlengang durch ein Glasprisma einer Filmkamera kann folgendermaßen dargestellt werden:
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu!
\(\eqalign{ & a = 0,50{\text{ cm}} \cr & x = 0,55{\text{ cm}} \cr & \beta = 40^\circ \cr & \gamma = 68^\circ \cr} \)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge z des Strahlengangs.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge y des Strahlengangs.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge x + y + z des Strahlengangs
[1 Punkt]
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Aufgabe 4119
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Höhe der Wolkenuntergrenze - Aufgabe B_110
Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.
Teil c
Eine Wolke wirft einen 150 m langen Schatten auf den Erdboden. Von A aus sieht man die Wolke unter dem Sehwinkel α = 4°. Der Einfallswinkel der parallelen Sonnenstrahlen gegenüber der Horizontalen betragt β = 30°.
Die folgende Abbildung stellt diese Situation vereinfacht und nicht maßstabsgetreu dar:
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die gegebenen Winkel α und β in die obige Abbildung ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Entfernung BC.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe h.
[1 Punkt]
Aufgabe 4334
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Hängematten - Aufgabe B_445
Teil b
Eine Hängematte wird an zwei senkrechten Stangen befestigt. In der nachstehenden Abbildung ist die belastete Hängematte modellhaft dargestellt. Es wirkt eine Kraft
\(\overrightarrow F {\text{ mit }}\left| {\overrightarrow F } \right| = 800{\text{ Newton (N)}}\)
senkrecht nach unten. Die Kraft \(\overrightarrow F \) wird in die Komponenten \(\overrightarrow {{F_1}} {\text{ und }}\overline {{F_2}} \) zerlegt.
Es gilt: α1 = 50° und α2 = 75°
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Kräftezerlegung mithilfe eines Kräfteparallelogramms.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie | F1 |.
[1 Punkt]
Aufgabe 4337
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bahnsteige - Aufgabe B_446
Teil b
In der nachstehenden Skizze ist eine Holzkonstruktion zur Überdachung eines Bahnsteigs dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von \(\overline {AE} ,\,\,\overline {AD} {\text{ und }}\alpha \) eine Formel zur Berechnung von \(\overline {DF} \)
[1 Punkt]
Es gilt: A = (0 | 4), B = (0 | 2,8), α = 104° und β = 123°
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge BC.
[1 Punkt]
Aufgabe 4492
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521
Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.
Teil a
In der nachstehenden Abbildung ist eine bestimmte Baggerposition dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in Abbildung 2 diejenige Länge s, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
\(s = a \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
[0 / 1 P.]
Es gilt:
- a = 4,65 m
- b = 4,50 m
- β = 110°
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Länge d.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die richtige Formel zur Berechnung des Winkels γ an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Formel 1: \(\gamma = \alpha - \arccos \left( {\dfrac{a}{d}} \right)\)
- Formel 2: \(\gamma = \alpha - \arcsin \left( {\dfrac{{b \cdot \sin \left( \beta \right)}}{d}} \right)\)
- Formel 3: \(\gamma = \arcsin \left( {\dfrac{{a \cdot \sin \left( \alpha \right)}}{d}} \right)\)
- Formel 4: \(\gamma = \alpha - \left( {\dfrac{{180^\circ - \beta }}{2}} \right)\)
- Formel 5: \(\gamma = \arccos \left( {\dfrac{{{b^2} + {d^2} - {a^2}}}{{2 \cdot b \cdot d}}} \right)\)
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