Aufgabe 4334
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Hängematten - Aufgabe B_445
Teil b
Eine Hängematte wird an zwei senkrechten Stangen befestigt. In der nachstehenden Abbildung ist die belastete Hängematte modellhaft dargestellt. Es wirkt eine Kraft
\(\overrightarrow F {\text{ mit }}\left| {\overrightarrow F } \right| = 800{\text{ Newton (N)}}\)
senkrecht nach unten. Die Kraft \(\overrightarrow F \) wird in die Komponenten \(\overrightarrow {{F_1}} {\text{ und }}\overline {{F_2}} \) zerlegt.
Bild
Es gilt: α1 = 50° und α2 = 75°
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Kräftezerlegung mithilfe eines Kräfteparallelogramms.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie | F1 |.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge
Bild
2. Teilaufgabe:
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge
Bild
Wir betrachten das eingefärbte nicht-rechtwinkelige Dreieck, von dem wir 2 Winkel und eine Seite kennen. Daher können wir den Sinus-Satz wie folgt anwenden:
Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln α, β und γ gegenüber liegen.
\(\begin{array}{l} \dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }}\\ \dfrac{{{F_1}}}{{\sin \left( {{\alpha _2}} \right)}} = \dfrac{F}{{\sin \left( {180 - {\alpha _1} - {\alpha _2}} \right)}}\\ \\ {F_1} = \dfrac{{F \cdot \sin \left( {{\alpha _2}} \right)}}{{\sin \left( {180 - {\alpha _1} - {\alpha _2}} \right)}} = \\ = \dfrac{{800 \cdot \sin \left( {75^\circ } \right)}}{{\sin \left( {180^\circ - 50^\circ - 75^\circ } \right)}} = \\ = \dfrac{{800 \cdot \sin \left( {75^\circ } \right)}}{{\sin \left( {55^\circ } \right)}} = 943,3 \end{array}\)
\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\) beträgt rund 943 Newton.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Bild
2. Teilaufgabe:
\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\) beträgt rund 943 Newton.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x A: für das richtige Veranschaulichen der Kräftezerlegung mithilfe eines Kräfteparallelogramms
2. Teilaufgabe:
1 x B: für die richtige Berechnung von | F1 |