Aufgabe 4026
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Prismen und Linsen - Aufgabe B_411
Teil b
Ein Strahlengang durch ein Glasprisma einer Filmkamera kann folgendermaßen dargestellt werden:
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu!
\(\eqalign{ & a = 0,50{\text{ cm}} \cr & x = 0,55{\text{ cm}} \cr & \beta = 40^\circ \cr & \gamma = 68^\circ \cr} \)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge z des Strahlengangs.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge y des Strahlengangs.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge x + y + z des Strahlengangs
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Seiten a und z sind Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks, von dem wir den Winkel \(\beta = 40^\circ \) und die Gegenkathete a=0,50 cm kennen. Wir können z wie folgt berechnen:
\(\eqalign{ & \tan \beta = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \frac{a}{z} \cr & \tan \left( {40^\circ } \right) = \frac{{0,5}}{z} \cr & z = \dfrac{{0,5}}{{\tan \left( {40^\circ } \right)}} = 0,595877\,{\text{cm}} \cr & z \approx 0,60\,{\text{cm}} \cr} \)
→ Die Länge z vom Strahlengang beträgt 0,60 cm
2. Teilaufgabe
Nun gibt es aber kein 2. rechtwinkeliges Dreieck, dh wir müssen auf Formeln für das allgemeine Dreieck zurückgreifen:
Um den Sinus-Satz anwenden zu können benötigen wir entweder
- 1 Seite und 2 Winkel oder
- 2 Seiten und 1 Winkel, wobei der Winkel nicht von den gegebenen Seiten eingeschlossen sein darf
Da wir nur 1 Seite gegeben haben, nämlich x benötigen wir 2 Winkel. Wir beschriften die Illustration wie folgt und berechnen die fehlenden Winkel wie folgt:
[svg:beispiel_3007_2_0.svg]
\(\eqalign{ & \delta = 180 - 2 \cdot \gamma = 180 - 2 \cdot 68 = 44^\circ \cr & \varepsilon = 180 - \beta - \varepsilon = 180 - 40 - 44 = 96^\circ \cr} \)
Nun können wir in den Sinus-Satz einsetzen:
\(\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }}\)
Wir müssen aber darauf achten, dass die Beschriftungen und die gegenüber liegenden Winkel stimmen:
\(\eqalign{ & \dfrac{x}{{\sin \beta }} = \frac{y}{{\sin \varepsilon }} \cr & \dfrac{{0,55}}{{\sin \left( {40^\circ } \right)}} = \frac{y}{{\sin \left( {96^\circ } \right)}} \cr & y = \dfrac{{0,55}}{{\sin \left( {40^\circ } \right)}} \cdot \sin \left( {96^\circ } \right) \approx 0,85096 \approx 0,85 \cr} \)
→ Die Länge der Seite y beträgt 0,85 cm
3. Teilaufgabe
Somit können wir die 3 Längen zum gesuchten Strahlengang aufsummieren:
\(z + y + x \approx 0,60 + 0,85 + 0,55 \approx 2,0\,\,cm\)
→ Die Länge vom gesamten Strahlengang beträgt ca. 2cm
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Länge von z beträgt ca. 0,59 cm
2. Teilaufgabe
Die Länge von y beträgt ca. 0,85 cm
3. Teilaufgabe
Die Länge vom gesamten Strahlengang beträgt ca. 2cm
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A1: Für die richtige Modellierung am rechtwinkeligen Dreieck zur Berechnung von z (KA)
2. Teilaufgabe
1 × A2: Für die richtige Modellierung am schiefwinkeligen Dreieck zur Berechnung von y (KA)
3. Teilaufgabe
1 × B: Für die richtige Berechnung der Länge des Strahlengangs (KB)