Aufgabe 4492

1. Teilaufgabe:

Dem Ausdruck \(a \cdot \cos \left( \alpha \right)\) entnehmen wir, dass es sich bei der gesuchten Länge um die Ankathete zum Winkel Alpha handeln muss. Zudem erfordert der Ausdruck, dass ein rechtwinkeliges Dreieck vorliegen muss.

Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
 

Bild

2. Teilaufgabe:

Wir kennen zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel und sollen die dritte Seite im nicht-rechtwinkeligen Dreieck berechnen. Da bietet sich der Kosinus-Satz an. Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. 

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( {\angle ab} \right)\)

Beziehungsweise: 

\(\begin{array}{l} {d^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)\\ d = \sqrt {{{4,65}^2} + {{4,5}^2} - 2 \cdot 4,65 \cdot 4,5 \cdot \cos (110^\circ } = 7,496 \end{array}\)

Wolfram Alpha: Sqrt[4.65^(2)+4.5^(2)-2*4.65*4.5* cos (110°]

→ Die Länge errechnet sich zu d=7,496 m

3. Teilaufgabe:

Die Versuchung ist groß, zu überlegen, ob man mit einem rechtwinkeligen Dreieck weiterkommt. Es würde sich eine Gegenkathete zum gesuchten Winkel γ, also eine Normale auf die horizontale Grundlinie durch den Punkt C anbieten. Aber leider kennen wir von diesem Dreieck nur die Seite d und den rechten Winkel. Das sind zu wenige bekannte Größen und daher ein Irrweg.

Wir kennen aber vom nicht rechtwinkeligen Dreieck ABC alle 3 Seiten und den Winkel Beta und können hier mit Sinus- und Kosinussatz arbeiten… Wir definieren einen neuen Winkel \(\delta = \alpha - \gamma \)  der im Dreieck ABC liegt. Wenn wir den Winkel Delta kennen, so können wir den gesuchten Winkel Gamma \(\gamma = \alpha - \delta \)  ausrechnen.

Da der Sinussatz einfacher als der Kosinussatz ist, versuchen wir damit unser Glück und tatsächlich:
\(\begin{array}{l} \dfrac{b}{{\sin \left( \delta \right)}} = \dfrac{d}{{\sin \left( \beta \right)}}\\ \\ \sin \left( \delta \right) = \dfrac{{b \cdot \sin \left( \beta \right)}}{d}\\ \delta = \arcsin \left( {\dfrac{{b \cdot \sin \left( \beta \right)}}{d}} \right) \end{array}\)

Somit:

\(\begin{array}{l} \gamma = \alpha - \delta \\ \gamma = \alpha - \arcsin \left( {\dfrac{{b \cdot \sin \left( \beta \right)}}{d}} \right) \to {\rm{ Formel 2}} \end{array}\)

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