Zufallsvariable
Formel
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zuordnet.
\(X:\Omega \to R;\,\,\,X:\omega \to X\left( \omega \right) = x\)
Das Ergebnis einfacher Zufallsexperimente ist etwa eine Augenzahl beim Würfeln oder "Kopf" oder "Zahl" beim Werfen einer Münze. Bei komplexeren Zufallsexperimenten ist das Ergebnis vom Experiment meist praktischer Weise eine Zahl. Der Großbuchstabe X steht dabei für die Zufallsvariable und der Kleinbuchstabe x steht für den einen, ganz konkreten Wert, den X annimmt. Man sagt auch, dass x die Zufallsvariable X "realisiert" und dass diese konkrete Realisation mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt.
Man unterscheidet zwischen
- diskreten Zufallsvariablen, die durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben werden
- stetigen Zufallsvariablen, die durch eine Dichtefunktion beschrieben werden
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Ergebnisse eines Zufallsexperiments auftreten. Sie lässt sich auf 2 Arten, bei gleichem Informationsgehalt aber unterschiedlicher Darstellung, beschreiben:
Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Zufallsvariablen
Für diskrete Zufallsvariablen (Bernoulli Verteilung, Binomialverteilung, Poissonverteilung, hypergeometrische Verteilung) liegt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von jedem einzelnen Wert zwischen 0 und 1. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten beträgt 1 (entsprechend 100%). Die Beschreibung erfolgt durch die
- Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x): \(f\left( x \right) = P\left( {X = x} \right)\)
- Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \sum\limits_{{x_i} \leqslant x} {f\left( {{x_i}} \right)} \)
Wahrscheinlichkeitsverteilung für stetige Zufallsvariablen
Für stetige Zufallsvariablen (Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung) beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jedes einzelnen Werts der Zufallsvariablen exakt Null. Die Beschreibung erfolgt durch die
- Dichtefunktion f(x): \(P\left( {a < X \le b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) wobei \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = 1\)
- Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt immer Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
- Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt immer Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
- Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {f\left( t \right)\,\,dt} \)
- Auf der y-Achse der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \le {x_1}} \right)\) ablesen, höchstens den Wert x1 zu erreichen.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen
Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Schließende Statistik | Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen. Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wertet die Ergebnisse von Zufallsexperimenten aus. |
Aktuelle Lerneinheit
Zufallsvariable | Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zu. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Standardnormalverteilung | Unter der Standardnormalverteilung versteht man die mit μ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung. Mit Hilfe der z-Transformation rechnet man beliebige Erwartungswerte bzw. Standardabweichungen auf die Standardnormalverteilung um. |
Konfidenzintervall | Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. |
Gleichverteilung - Disparität - Konzentration | Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint. |
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung | Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (zB ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft". |
Exponentialverteilung | Die Exponetialfunktion wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. |
Rechteckverteilung | Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. |
Normalverteilung | Die Normalverteilung, auch gaußsche-Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. |
Hypergeometrische Verteilung | Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. |
Poissonverteilung | Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung wenn n sehr groß (größer 100) ist, verbunden mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit die gegen Null konvergiert |
Bernoulli-Verteilung | Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. |
Histogramm der Häufigkeitsverteilung | Histogramme schauen ähnlich aus wie Balkendiagramme - man benötigt zu deren grafischer Darstellung die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte) |
Stetige Zufallsvariable | Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich, also nicht abzählbar, ist. |
Diskrete Zufallsvariable | Für diskrete Zufallsvariablen ist die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments endlich, also abzählbar. Sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. |
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten | Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Wir unterscheiden zwischen Bernoulli und Laplace Experiment. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1291
AHS - 1_291 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25.
x | P(x) |
0 | 0,1001 |
1 | 0,2670 |
2 | 0,3115 |
3 | 0,2076 |
4 | 0,0865 |
5 | 0,0231 |
6 | 0,0038 |
7 | 0,0004 |
8 | 0,00002 |
Aufgabenstellung:
μ ist der Erwartungswert, σ die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: \(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right)\)
Aufgabe 1635
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen
In den nachstehenden Diagrammen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zweier Zufallsvariablen X und Y dargestellt. Die Erwartungswerte der Zufallsvariablen werden mit E(X) und E(Y), die Standardabweichungen mit σ (X) und σ (Y) bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = E\left( Y \right)\)
- Aussage 2: \(\sigma \left( X \right) > \sigma \left( Y \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \leqslant 3} \right) < P\left( {Y \leqslant 3} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( {3 \leqslant X \leqslant 7} \right) = P\left( {3 \leqslant Y \leqslant 7} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \leqslant 5} \right) = 0,3\)
Aufgabe 1471
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verschiedenfärbige Kugeln
Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 1: Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 2: Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
- Aussage 3: Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 4: Es werden nur rote Kugeln gezogen.
- Aussage 5: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
- Aussage 6: Es wird keine rote Kugel gezogen
Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck: \(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2\)
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird!
Aufgabe 1292
AHS - 1_292 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flaschensortieranlage
Auf einer Sortieranlage werden 500 Flaschen von einem Scanner untersucht – es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. p % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl k der falschen Entscheidungen beim vorgegebenen Stichprobenumfang.
k | P(X=k) |
10 | 0,0003 |
11 | 0,0007 |
12 | 0,0015 |
13 | 0,0029 |
14 | 0,0053 |
15 | 0,009 |
16 | 0,0144 |
17 | 0,0216 |
18 | 0,0305 |
19 | 0,0408 |
20 | 0,0516 |
21 | 0,0621 |
22 | 0,0712 |
23 | 0,0778 |
24 | 0,0814 |
25 | 0,0816 |
26 | 0,0785 |
27 | 0,0725 |
28 | 0,0644 |
29 | 0,0552 |
30 | 0,0456 |
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Tabelle die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {22 < X \leqslant 27} \right)\)und markieren Sie diese in der Grafik.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 1422
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern
Ein italienischer Süßwarenhersteller stellt Überraschungseier her. Das Ei besteht aus Schokolade. Im Inneren des Eies befindet sich in einer gelben Kapsel ein Spielzeug oder eine Sammelfigur. Der Hersteller wirbt für die Star-Wars Sammelfiguren mit dem Slogan „Wir sind jetzt mit dabei, in jedem 7. Ei!“.
Aufgabenstellung:
Peter kauft in einem Geschäft zehn Überraschungseier aus dieser Serie. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Peter mindestens eine Star-Wars-Sammelfigur erhält!
Aufgabe 1611
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeit
Die Zufallsvariable X hat den Wertebereich \(\left\{ {0,1,...,9,10} \right\}\). Gegeben sind die beiden Wahrscheinlichkeiten \(P\left( {X = 0} \right) = 0,35\) und \(P\left( {X = 1} \right) = 0,38\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \geqslant 2} \right)\) !
Aufgabe 1587
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die nachstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X.
Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe dieser Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {4 \leqslant X < 7} \right)\)an!
\(P\left( {4 \leqslant X < 7} \right) \approx \)
Aufgabe 4409
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weihnachtsmarkt - Aufgabe B_479
Teil d
Jemand beobachtete auf dem Weihnachtsmarkt das Kaufverhalten und bestimmte die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
Anzahl n der Marmeladengläser | Wahrscheinlichkeit für den Kauf von n Marmeladengläser pro Person |
0 | 0,24 |
1 | 0,38 |
2 | 0,16 |
3 | 0,12 |
4 | |
\($ \geqslant 5\) | 0 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie die obige Tabelle durch Eintragen des fehlenden Wertes.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gekauften Marmeladegläser pro Person.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen
Aufgabe 1327
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Diskrete Zufallsvariable
Die unten stehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X.
- Aussage 1: \(1 - P\left( {X \leqslant 2} \right)\)
- Aussage 2: \(P\left( {X \leqslant 6} \right) - P\left( {X \leqslant 3} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \geqslant 3} \right) + P\left( {X \leqslant 6} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( {3 \leqslant X \leqslant 6} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \leqslant 6} \right) - P\left( {X < 2} \right)\)
- Aussage 6: \(P\left( {3 < X < 6} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welcher der obigen Ausdrücke beschreibt die Wahrscheinlichkeit, die dem Inhalt der schraffierten Fläche entspricht? Kreuzen Sie den zutreffenden Ausdruck an!