Aufgabe 1471
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verschiedenfärbige Kugeln
Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 1: Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 2: Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen.
- Aussage 3: Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen.
- Aussage 4: Es werden nur rote Kugeln gezogen.
- Aussage 5: Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.
- Aussage 6: Es wird keine rote Kugel gezogen
Aufgabenstellung:
Gegeben ist der folgende Ausdruck: \(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2\)
Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird!
Lösungsweg
3-faches Ziehen mit Zurücklegen, wobei die Reihenfolge egal ist
- 15 Kugeln
- 3 rote Kugeln
- 12 schwarze Kugeln
- 3 Mal wird gezogen, mit Zurücklegen
\(\eqalign{ & P\left( {{\text{rote Kugel}}} \right) = \dfrac{3}{{15}} = 0,2 \cr & P\left( {{\text{schwarze Kugel}}} \right) = \dfrac{{12}}{{15}} = 0,8 \cr} \)
Wir analysieren den gegebenen Ausdruck:
\(3 \cdot {0,8^2} \cdot 0,2 = 3 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,2\)
- der 3-er stammt vom 3-maligem Ziehen
- die \(0,8 \cdot 0,8\) weisen darauf hin, dass 2 schwarze Kugeln gezogen wurden
- die \(0,2\) weist darauf hin, dass 1 rote Kugel gezogen wurde
- Aussage 1: Falsch, es wurden 2 schwarze Kugeln gezogen
- Aussage 2: Richtig, weil eben genau 2 schwarze Kugeln (und nicht etwa 1 oder 3 schwarze Kugeln) gezogen wurden
- Aussage 3: Falsch, weil nur 1 rote Kugel gezogen wurde
- Aussage 4: Falsch, weil auch 2 schwarze Kugeln gezogen wurden
- Aussage 5: Falsch, weil "mindestens" eine rote Kugel würde auch zulassen, dass 2 oder 3 rote Kugeln gezogen wurden
- Aussage 6: Falsch, weil eine rote Kugel gezogen wurde
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die richtige Aussage angekreuzt ist.