Aufgabe 1291
AHS - 1_291 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25.
x | P(x) |
0 | 0,1001 |
1 | 0,2670 |
2 | 0,3115 |
3 | 0,2076 |
4 | 0,0865 |
5 | 0,0231 |
6 | 0,0038 |
7 | 0,0004 |
8 | 0,00002 |
Aufgabenstellung:
μ ist der Erwartungswert, σ die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: \(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right)\)
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zur Veranschaulichung: Es könnte sich etwa um einen Test mit n=8 Fragen handeln, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür eine konkrete Frage richtig zu beantworten 25% beträgt, wegen p=0,25. Z.B.: weil es 4 Antwortmöglichkeiten gibt.
Muss man für eine "Genügend" 4 oder mehr der 8 Fragen richtig haben, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür bei bloßem Raten:
P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=
=0,0865+0,0231+0,0038+0,0004+0,00002=
=0,1137 bzw 11,37%
Muss man für ein "Sehr Gut" alle 8 Fragen richtig haben, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür bei bloßem Raten P(X=8)=0,00002= 0,02 Promille
Lösungsweg
Aus der Angabe entnehmen wir:
n=8; p=0,25; (1-p)=(1-0,25)=0,75
Es ist die Wahrscheinlichkeit P(X) zu berechnen, mit der die Zufallsvariable X im Bereich \(({\mu - \sigma })\) bis \(({\mu - \sigma })\) um den Erwartungswert μ liegt
Für den Erwartungswert der Binomialverteilung gilt: \(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\) somit:
\(\mu = n \cdot p = 8 \cdot 0,25 = 2\)
Für die Standardabweichung der Binomialverteilung gilt: \(\sigma = \sqrt {Var(X)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \) somit:
\(\sigma = \sqrt {\mu \cdot \left( {1 - p} \right)} = \sqrt {2 \cdot 0,75} \approx 1,2247\)
Um die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right)\) berechnen zu können benötigen wir
- \({\mu - \sigma }=0,78\)
- \({\mu + \sigma } = 3,22\)
Da es sich bei der Binomialverteilung um eine diskrete Verteilung handelt, muss man wie folgt auf ganze X runden
- \(\mu - \sigma \to 1\)
- \(\mu + \sigma \to 3\)
Somit:
\(\begin{array}{l} P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right) \to P\left( {1 \le X \le 3} \right)\\ P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \\ = 0,2670 + 0,3115 + 0,2076 = 0,7861 \buildrel \wedge \over = 78,61\% \end{array}\)
Die Wahrscheinlichkeit dafür entweder eine oder zwei oder drei von 8 Fragen mit jeweils 4 Möglichkeiten richtig zu erraten beträgt 78,61%. Umgekehrt formuliert, beträgt die Wahrscheinlichkeit 4 oder mehr Fragen richtig zu erraten lediglich 11,39%
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right) = 0,7861 \buildrel \wedge \over = 78,61\% \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet wurde.