Aufgabe 1422
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sammelwahrscheinlichkeit bei Überraschungseiern
Ein italienischer Süßwarenhersteller stellt Überraschungseier her. Das Ei besteht aus Schokolade. Im Inneren des Eies befindet sich in einer gelben Kapsel ein Spielzeug oder eine Sammelfigur. Der Hersteller wirbt für die Star-Wars Sammelfiguren mit dem Slogan „Wir sind jetzt mit dabei, in jedem 7. Ei!“.
Aufgabenstellung:
Peter kauft in einem Geschäft zehn Überraschungseier aus dieser Serie. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Peter mindestens eine Star-Wars-Sammelfigur erhält!
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Binomialverteilung.Das ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Star-Wars-Sammelfigur "enthalten" oder "nicht enthalten".
- n=10 weil zehn Überraschungseier gekauft werden
- p=1/7 weil nur in jedem 7. Ei eine Star-Wars-Sammelfigur enthalten ist
- k=1..10 weil mindestens eine Star-Wars-Sammelfigur enthalten sein soll, gerne aber auch 2,3,4,5,6,7,8,9 oder 10
- \(P(X \ge 1)\) weil "mindestens" im Sprachgebrauch mathematisch mit "\(\ge\)" gleichzusetzen ist.
Die Formel für "genau k Treffer" (also für jede die 10 Einzelwahrscheinlichkeiten) lautet:
\(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\)
oder aufsummiert:
\(P(X \ge 1) = \sum\limits_{k = 1}^{10} {P\left( {X = k} \right)} \)
Das bedeutet für 10 unterschiedliche k jeweils die Einzelwahrscheinlichkeit auszurechnen und schlussendlich deren Summe zu bilden.
Wesentlich einfacher ist es mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu rechnen. Die Gegenwahrscheinlichkeit von "mindestens 1" Treffer bedeutet "keinen" Treffer (k=0)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{6}{7}} \right)^{10}} = 1 - {\left( {\dfrac{6}{7}} \right)^{10}} \approx 0,7859 \buildrel \wedge \over = 78,59\% \)
→ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 1 Figur in den 10 Eiern enthalten ist beträgt ca. 78,6%
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 1 Figur in den 10 Eiern enthalten ist beträgt ca. 78,6%
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Bruch, als Dezimalzahl) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [0,78; 0,79] bzw. [78 %; 79 %]