Laplace Wahrscheinlichkeit
Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgängen zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten
Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissenführt. Dabei ist das zeitlich jeweils nächste Ergebnis unabhängig von den zeitlich vorhergehenden Ergebnissen.
Ergebnismenge \(\Omega\)
Ein Ergebnis ist der spezifische Ausgang von einem Zufallsexperiment. Die Ergebnismenge, auch Ergebnisraum genannt, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse Ai eines Zufallsexperiments, die grundsätzlich auftreten können.
\(\Omega = \left\{ {{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}\)
- Ergebnis eines einmaligen Würfelwurfs: "2 Augen"
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Wurf einer Münze ist \(\Omega = \left\{ {{\rm{Kopf;Zahl}}} \right\}\)
- Die Menge aller möglichen Ergebnisse - also der Ergebnisraum \(\Omega\) - beim Würfeln mit 2 Würfeln ist \(\Omega = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);...;\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);....\left( {6;6} \right)} \right\}\)
Ereignismenge \(P\left( \Omega \right)\)
Ereignismengen, auch Ereignisräume genannt, sind Teilmengen der Ergebnismenge.
\(P\left( \Omega \right) = \left\{ {A\left| {A \subseteq \Omega } \right.} \right\}\)
Beispiel Würfel:
- Ergebnismenge: \(\Omega = \left\{ {{1},{2},...,{6}} \right\}\)
- Ereignismenge "nur" die gerade Augenzahl: \(\Omega = \left\{ {{2},{4},{6}} \right\}\)
Elementarereignis
Das Elementarereignis Ai ist eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\) mit genau einem Element.
\({A_i} \in \Omega\)
Zur Veranschaulichung:
Wirft man einen Würfel, so umfasst die Ergebnismenge \(\Omega = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) genau 6 Elementarereignisse : 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen
Gegenereignis
Das Gegenereignis A‘ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis A nicht eintritt. Alle Elemente des Ereignisses A und seines Gegenereignisses A‘ ergeben zusammen die Ergebnismenge \(\Omega\).
\(A' + A = \Omega\)
Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \). Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang:
\(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich der Eintritt eines Ereignisses ist. Bei der wiederholten Durchführung eines Zufallsexperiments tritt eine Abfolge von einzelnen Elementarereignissen Ai auf. Man kann zwar nicht vorhersagen genau welches Elementarereignis als nächstes auftritt, aber man kann eine Aussage darüber machen, wie häufig ein bestimmtes Elementarereignis im Vergleich zu den anderen Elementarereignissen auftritt. Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace P(A)=P(X=x) leitet sich aus der Häufigkeit eines bestimmten Elementarereignisses, im Verhältniss zur Häufigkeit aller Elementarereignisse ab.
\(0 \leqslant P\left( A \right) \leqslant 1\) | Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein beliebiges Elementarereignis eintritt, muss zwischen 0 und 1 liegen |
\(P\left( \Omega \right) = 1\) | Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Elementarereignisse eintreten, muss 1 sein. |
Gleichwahrscheinlichkeit
Eine Gleichwahrscheinlichkeit liegt vor, wenn jedes der n Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/n hat.
Unbedingte Wahrscheinlichkeit P(A)
Die unbedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses ist, unabhängig von irgend welchen Vorbedingungen.
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Nieder, weil es nur ca. 30 derartige Hitzetage pro Jahr gibt.
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B│A)
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen
\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)
Obige Formel ist lediglich die umformulierte Multiplikationsregeln für Wahrscheinlichkeiten ("Und Regel").
Beispiel: Heute wird in Wien eine Temperatur von 35° C gemessen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass morgen in Wien die Temperatur 30° C überschreitet? Antwort: Hoch, da sich die Klimalage nur alle paar Tage verändert.
Gegenwahrscheinlichkeit
Die Gegenwahrscheinlichkeit vom Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A nicht eintritt. Oft ist es einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit von einem Ereignis auszurechnen und daraus die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst zurückzurechnen.
\(\eqalign{ & P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) \cr & P\left( A \right) = 1 - P\left( {A'} \right) \cr}\)
Anmerkung zur Notation:
\(P\left( {A'} \right) = P\left( {\neg A} \right)\)
Bernoulli Experiment
Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches
- genau 2 mögliche Ergebnisse hat: Treffer / Niete.
- Die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer oder für eine Niete muss aber keinesfalls 50:50 bzw. 0,5 sein. Die Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit ("günstige" durch "mögliche") gilt auch für Bernoulli Experimente, da diese ja nur ein Sonderfall vom Laplace Experiment sind.
Beispiel: gerade und ungerade Tage im Jänner:
Jeder Tag muss entweder gerade oder ungerade sein, aber es gibt im Jänner 15 gerade aber 16 ungerade Tage.
\(\eqalign{ & P\left( {X = {\text{gerader Tag}}} \right) = \dfrac{{15}}{{31}} \cr & P\left( {X = {\text{ungerader Tag}}} \right) = \dfrac{{16}}{{31}} \cr} \)
Gegenwahrscheinlichkeiten in einem Bernoulli Experiment
Wenn in einem Bernoulli Experiment p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ist, dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, man nennt dies die Gegenwahrscheinlichkeit.
Laplace Experiment
Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, welches n mögliche Ergebnisse hat, wobei die Wahrscheinlichkeit für jedes der n Ergebnisse gleich groß ist. Man spricht dann von der Laplace Wahrscheinlichkeit.
Beispiel für ein Laplace Experiment: Würfelwurf; Es gibt 6 mögliche Elementarereignisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. 1 Auge, 2 Augen, 3 Augen, 4 Augen, 5 Augen, 6 Augen
Laplace Wahrscheinlichkeit
Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)
wobei: \(0 \leqslant P\left( E \right) \leqslant 1{\text{ und }}P\left( 0 \right) = 0{\text{ sowie P}}\left( \Omega \right) = 1\)
E | Ereignisse A, B |
P(A) | Wahrscheinlichkeit für das Eintreten vom Ereignis A |
P(A)=1 | Das Ereignis tritt sicher ein |
P(A)=0 | Das Ereignis tritt sicher nicht ein |
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Aufgaben
Aufgabe 1706
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spielwürfel
Bei einem Spiel kommt ein Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 zum Einsatz. Der Würfel wird dreimal geworfen. Für jeden Wurf gilt: Jede der Augenzahlen tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf wie jede der anderen Augenzahlen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p dafür an, dass man beim dritten Wurf eine durch 3 teilbare Augenzahl würfelt!
p =
[0 / 1 Punkt]
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Aufgabe 1778
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lieblingsfach
Alle Schulkinder der 1. und der 2. Klassen einer Schule wurden nach ihrem Lieblingsfach befragt. Bei dieser Befragung war genau ein Lieblingsfach anzugeben. Die nachstehende Tabelle fasst die erhobenen Daten zusammen.
Lieblingsfach Mathematik | anderes Lieblingsfach | |
Schulkinder der 1. Klassen | 47 | 241 |
Schulkinder der 2. Klassen | 33 | 287 |
gesamt | 80 | 528 |
Ein Schulkind der 1. Klassen wird zufällig ausgewählt. (Dabei haben alle Schulkinder der 1. Klassen die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden.)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Schulkind Mathematik als Lieblingsfach angegeben hat.
Aufgabe 1801
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit
Bei einem Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ist eine Ecke beschädigt. Deswegen wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl zu werfen, nicht für alle Augenzahlen gleich hoch ist.
Jemand hat mit dem Würfel zwei Wurfserien mit jeweils 50 Würfen durchgeführt und die absoluten Häufigkeiten der auftretenden Augenzahlen aufgezeichnet. In der nachstehenden Tabelle sind diese Aufzeichnungen zusammengefasst.
Augenzahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Häufigkeit in Wurfserie 1 | 7 | 8 | 7 | 10 | 8 | 10 |
Häufigkeit in Wurfserie 2 | 6 | 9 | 7 | 9 | 10 | 9 |
Aufgabenstellung:
Geben Sie anhand der Ergebnisse der beiden Wurfserien einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p (in %) an, mit diesem Würfel die Augenzahl 6 zu werfen.
p = %
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 4120
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel - Aufgabe B_115
Teil a
Das im Folgenden beschriebene Spiel wird mit herkömmlichen fairen Spielwürfeln gespielt, bei denen die Augenzahlen 1 bis 6 jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Würfelergebnis auftreten. Es werden 2 Spielwürfel gleichzeitig geworfen und es wird deren Augensumme bestimmt. Nun sollen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in die nachstehende Tabelle ein.
[1 Punkt]
Augensumme |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Wahrscheinlichkeit |
Es wird Ihnen nun folgendes Spiel vorgeschlagen:
- Sie gewinnen, wenn die Augensumme 5, 6, 7 oder 8 beträgt.
oder
- Sie gewinnen mit allen übrigen Augensummen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, welche der beiden Möglichkeiten die höhere Gewinnwahrscheinlichkeit hat.
[1 Punkt]
Aufgabe 4123
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wiener Öffis - Aufgabe B_187
Wien betreibt das fünftgrößte Straßenbahnnetz weltweit und das fünftgrößte U-Bahn-Netz in der Europäischen Union.
Teil b
Im Folgenden ist ein kleiner Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes abgebildet:
Die Mengen der Haltestellen der Linien U1, U2 und U4, die in diesem Ausschnitt dargestellt sind, werden mit U1, U2 bzw. U4 bezeichnet.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in jeden Teilbereich des nachstehenden Diagramms die entsprechende Anzahl an Haltestellen für den abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Namen derjenigen Haltestellen an, die in der folgenden Menge liegen:
U1 \ (U2 ∪ U4)
[1 Punkt]
Aus dem abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes wird eine Haltestelle zufällig ausgewählt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Haltestelle handelt, die an mehr als einer U-Bahn-Linie liegt.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4164
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Glücksspiel - Aufgabe A_282
Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.
Teil a
Im ersten Gefäß befinden sich insgesamt a Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, die anderen Kugeln sind weiß. Es wird 1 Kugel aus diesem Gefäß gezogen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von a einen Ausdruck zur Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit: P(„die gezogene Kugel ist weiß“) =
[1 Punkt]
Aus diesem Gefäß mit a Kugeln zieht Elena 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zurück. Dann zieht sie wieder 1 Kugel.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Die Wahrscheinlichkeit, dass Elena 2-mal eine rote Kugel zieht, beträgt 12,25 %. Berechnen Sie die Anzahl a.
[1 Punkt]
Aufgabe 4446
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kinderlieder - Aufgabe B_511
Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied "Aramsamsam" und ob sie das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.
- 7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
- Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam.
- 3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.
Teil a
Die Pädagogin wählt 2 verschiedene Kinder aus den 26 Kindern ihrer Gruppe zufällig aus.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder sowohl das Kinderlied "Aramsamsam" als auch das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.
[0 / 1 P.]
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie ein mögliches Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
\(P\left( E \right) = \dfrac{3}{{26}} \cdot \dfrac{2}{{25}}\)
Aufgabe 4486
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kino - Aufgabe B_519
Teil a
Personen, die ein Kino besuchen, können Geld für 3 verschiedene Bereiche ausgeben:
- K … Menge der Personen, die für das Kinoticket Geld ausgeben
- P … Menge der Personen, die für das Parkticket Geld ausgeben
- V … Menge der Personen, die für die Verpflegung Geld ausgeben
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Mengen jeweils die zutreffende Beschreibung aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Menge 1:
- Menge 2:
- Beschreibung A: Menge der Personen, die nur für das Kinoticket Geld ausgeben
- Beschreibung B: Menge der Personen, die für das Kinoticket Geld ausgeben
- Beschreibung C: Menge der Personen, die sowohl für das Kinoticket als auch für das Parkticket Geld ausgeben
- Beschreibung D: Menge der Personen, die entweder für das Kinoticket oder für das Parkticket oder für beides Geld ausgeben
Die Ergebnisse einer Befragung sind im nachstehenden Venn-Diagramm dargestellt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie die Bedeutung der Zahl 12 im obigen Venn-Diagramm im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, wie viel Prozent der befragten Personen in der Menge K ∩ P ∩ V enthalten sind.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4491
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kartenhaus - Aufgabe B_520
Aus Spielkarten kann man ein Kartenhaus bauen.
Teil c
Bei einem Glücksspiel wird ein Kartenspiel mit 32 Karten verwendet, das genau 4 Asse enthält. Bryan zieht zufällig und ohne hinzusehen 1 Karte. Ist die gezogene Karte ein Ass, so gewinnt er € 20. Ist die gezogene Karte kein Ass, so verliert er € 5. Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn bei diesem Spiel in € an.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
[0 / 1 P.]
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