Aufgabe 4164
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Glücksspiel - Aufgabe A_282
Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.
Teil a
Im ersten Gefäß befinden sich insgesamt a Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, die anderen Kugeln sind weiß. Es wird 1 Kugel aus diesem Gefäß gezogen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von a einen Ausdruck zur Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit: P(„die gezogene Kugel ist weiß“) =
[1 Punkt]
Aus diesem Gefäß mit a Kugeln zieht Elena 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zurück. Dann zieht sie wieder 1 Kugel.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
[1 Punkt]
Bild
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Die Wahrscheinlichkeit, dass Elena 2-mal eine rote Kugel zieht, beträgt 12,25 %. Berechnen Sie die Anzahl a.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgänge zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an.
- a .. Anzahl der Kugeln
- 7 .. Anzahl der roten Kugeln
- a-7 .. Anzahl der weißen Kugeln
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\rm{günstige Fälle}}}}{{{\rm{mögliche Fälle}}}} = \dfrac{{a - 7}}{a}\)
2. Teilaufgabe:
Baumdiagramme unterstützen visuell bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Ein Baumdiagramm besteht aus Knoten und Zweigen. Ein Pfad startet bei einem Knoten, verläuft über einen oder mehrere Zweige und endet in einem Knoten.
- Neben jeden Zweig schreibt man die Wahrscheinlichkeit, mit der das vom Zweig repräsentierte Zufallsereignis eintritt. Man nennt dies die Zweigwahrscheinlichkeit.
- Die Wahrscheinlichkeit aller Zweige, die von einem Knoten weglaufen, addieren sich immer zu 1.
- Die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades berechnet sich aus der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige des Pfades.
Bild
3. Teilaufgabe:
- a .. Anzahl der Kugeln
- 7 .. Anzahl der roten Kugeln
Da Elena die 1. Kugel wieder zurücklegt ist die Wahrscheinlichkeit im 2 Zug \(P\left( {{\rm{rot}}} \right) = \dfrac{7}{a}\) gleich groß, wie im 1. Zug \(P\left( {{\rm{rot}}} \right) = \dfrac{7}{a}\). Da Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert werden, gilt unter Berücksichtigung, dass lt. Angabe die Wahrscheinlichkeit für 2 x rot = 12,25%:
\(\begin{array}{l} P\left( {{\rm{rot}}{\rm{, rot}}} \right) = \dfrac{7}{a} \cdot \dfrac{7}{a} = 0,1225 \buildrel \wedge \over = 12,25\% \\ \dfrac{{49}}{{{a^2}}} = 0,1225 \to a = \sqrt {\dfrac{{49}}{{0,1225}}} = 20 \end{array}\)
→ Die Anzahl der Kugeln beträgt a=20.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(P\left( E \right) = \dfrac{{a - 7}}{a}\)
2. Teilaufgabe:
Bild
3. Teilaufgabe:
Die Anzahl der Kugeln beträgt a=20.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x A1: für das richtige Erstellen des Ausdrucks
2. Teilaufgabe:
1 x A2: für das richtige Vervollständigen des Baumdiagramms
3. Teilaufgabe:
1 x B: für die richtige Berechnung von a