Lagebeziehung zweier Geraden
Formel
Lagebeziehung zweier Geraden
Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, normal, schneidend oder windschief zu einander sein
Implizite Darstellung zweier Geraden:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\)
Explizite Darstellung zweier Geraden:
\(\eqalign{ & y = {k_1}x + {d_1} \cr & y = {k_2}x + {d_2} \cr}\)
Umrechnung zwischen impliziter und expliziter Darstellungsform
\({k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,\,\,{d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}}\)
Identische Geraden
Zwei Geraden sind identisch, wenn alle bzw. mindestens 2 Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade sind. Die beiden Geraden fallen dann zusammen. Zwei Geraden sind identisch, wenn
- die beiden Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = g = h\)
- sie die selbe Steigung k und den selben Ordinatenabschnitt d aufweisen
Das Gleichungssystem für 2 deckungsgleiche Geraden hat unendlich viele Lösungen:
\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\)
\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} = {d_2} \cr} \)
Parallele Geraden
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie durch eine Verschiebung ineinander übergeführt werden können. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre
- Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\).
- sie die selbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen
Für parallele Gerade kann man einen Abstand zwischen den Geraden angeben.
Das Gleichungssystem für 2 parallele Geraden hat keine Lösung:
\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\)
\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} \ne {d_2} \cr} \)
Schneidende Geraden
Zwei Geraden schneiden einander in einem Punkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt, haben. Zwei Geraden schneiden einander,
- wenn sie in einer Ebene liegen, ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = \left\{ S \right\}\)
- wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen.
Bei einander schneidenden Geraden kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel angeben. Zwei Geraden sind rechtwinkelig, wenn sie einen Schnittpunkt haben und der Schnittwinkel 90° beträgt.
Das Gleichungssystem für 2 schneidende Geraden hat eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\).
\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\)
\(\eqalign{ & {k_1} \ne {k_2} \cr & egal \cr} \)
Windschiefe Geraden
Zwei Gerade sind zu einander windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. Das ist natürlich nur im Raum möglich. Zwei Gerade sind windschief,
- wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\)
Das Gleichungssystem für 2 windschiefe Geraden hat keine Lösung
Illustration identischer, paralleler, schneidender und windschiefer Geraden
Normale Geraden
Eine Gerade n steht auf die Gerade g mit der Steigung k \(\left( {k \ne 0} \right)\) dann normal / senkrecht / im rechten Winkel, wenn die Steigung von n: \( - \dfrac{1}{k}\) beträgt. Im Spezialfall von k=0 nennt man die Gerade g eine horizontale Gerade und jede vertikale Gerade ist eine normale Gerade dazu.
Illustration einer Geraden und der Normalen dazu
Schnittpunkt S von zwei Geraden
Den Schnittpunkt von zwei Geraden, so es ihn überhaupt gibt, erhält man, indem man die beiden Geraden gleichsetzt, da der Schnittpunkt beiden Geradengleichungen entsprechen muss
- indem man die beiden Geradengleichungen gleichsetzt und die Parameter u und v berechnet
- dann setzt man die beiden Parameter u und v in die jeweilige Geradengleichung ein. Erhält man eine wahre Aussage so gibt es tatsächlich einen Schnittpunkt.
- um die Koordinaten vom Schnittpunkt zu berechnen, setzt man u in \(\overrightarrow g\) ein oder alternativ v in \(\overrightarrow h\).
\(\eqalign{ & \overrightarrow g = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr & \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)
Schnittwinkel schneidender Geraden
Um den Schnittwinkel schneidender Geraden zu bestimmen bilden wir den Quotienten aus dem Skalarprodukt und dem Betrag der beiden Richtungsvektoren und berechnen davon den Arkuskosinus
\(\cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }}\)
Wobei a und b die Richtungsvektoren der einander schneidenden Geraden sind.
Abstand zweier windschiefer Geraden
Liegen zwei Gerade nicht in einer Ebene, so sind sie windschief. Die kürzeste Verbindung d(g,h) zwischen 2 windschiefen Geraden g, h ist genau jene Verbindung, die sowohl senkrecht auf g als auch senkrecht auf h steht.
Gegeben sind also zwei windschiefe Gerade g, h, jeweils durch einen Ortsvektor p, q zu einem Aufpunkt P, Q und je einen Richtungsvektor a, b
\(\begin{array}{l} \overrightarrow g = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow h = \overrightarrow q + \mu \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_x}}\\ {{q_y}}\\ {{q_z}} \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)
Der gemeinsame Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren ergibt sich mit Hilfe vom Kreuzprodukt wie folgt:
\(\overrightarrow n = \overrightarrow a \times \overrightarrow b \)
Der Abstand der windschiefen Geraden ergibt sich mit Hilfe vom Skalarproukt zu
\(d = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow q - \overrightarrow p } \right) \circ \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)
Illustration zum Abstand zweier windschiefer Geraden
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
Aktuelle Lerneinheit
Lagebeziehung zweier Geraden | Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, komplanar oder windschief zu einander sein |
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Gleichung der Kugel | Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben. |
Gleichung der Ellipse | Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
Ebenengleichungen und ihre Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt |
Geradengleichungen und deren Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie Form der Geraden |
Gleichung der Parabel | Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Brennpunkt und von einer gegebenen Leitgerade den gleichen Abstand haben. |
Gleichung der Hyperbel | Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
Gleichung des Kreises | Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben. |
Lagebeziehung zweier Ebenen | Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden |
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene | Eine Gerade kann eine Ebene entweder schneiden, parallel zur Ebene liegen oder in der Ebene liegen |
Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene | Entweder liegt der Punktauf in oder außerhalb einer Ebene |
Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade | Entweder liegt der Punkt auf oder außerhalb einer Geraden. |
Lagebeziehung zweier Punkte | Zwei Punkte im Raum können durch einen Vektor verbunden werden. Anschließend kann der Betrag bzw. die Länge des Vektors errechnet werden, und man erhält damit den Abstand der beiden Punkte |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1391
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen
Gegeben sind der Graph einer Funktion f und die Funktion g mit der Gleichung \(g\left( x \right) = - x + 5\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der Funktionen f und g!
Aufgabe 6030
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem
Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (siehe nachfolgende Abbildung).
Dabei beschreibt das Rechteck ABCD mit \(A\left( {5\left| { - 4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) und \(B\left( {5\left| {4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M\left( {2,5\left| {0\left| 2 \right.} \right.} \right)\) des Rechtecks ABCD dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die x1x2-Ebene beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C.
2. Teilaufgabe a.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Rechteck ABCD liegt, in Normalenform.
(mögliches Teilergebnis: \(E:4{x_1} + 5{x_3} - 20 = 0\))
Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel α geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad φ des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha + \varphi = 90^\circ \) gelten.
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad φ die Sonnenuhr gebaut wurde.
Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \(\left[ {MS} \right]{\rm{ mit }}S\left( {4,5\left| {0\left| {4,5} \right.} \right.} \right)\) dargestellt.
4. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht.
5. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.
Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6\\ { - 13} \end{array}} \right)\)dargestellt.
6. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt S dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.
Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {BC} \right]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AB} \right]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AD} \right]\).
7. Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der (in Teilaufgabe c, Anm.) betrachtete Zeitpunkt t0 vor 12 Uhr liegt.
Im Verlauf des Vormittags überstreicht der Schatten des Polstabs auf der Grundplatte in gleichen Zeiten gleich große Winkel.
8. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Uhrzeit auf Minuten genau, zu der der Schatten des Polstabs im Modell durch den Punkt B verläuft.