Aufgabe 69
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung
\({x^2} = k\)
Für welche k hat diese Gleichung eine, zwei bzw. keine Lösung in R?
Lösungsweg
Es liegt eine quadratische Gleichung vor, deren lineares Glied Null ist. Es soll die Bedeutung der Diskriminante für die Lösungen einer quadratischen Gleichung herausgearbeitet werden.
\(\eqalign{ & {x^2} = k \cr & {x_{1,2}} = \sqrt k \cr}\)
- k=0: Die Gleichung hat 1 (Doppel-) Lösung
- k>0: Die Gleichung hat 2 Lösungen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden
- k<0: Die Gleichung hat 0 (reelle) Lösungen, da der Wurzel aus einer negativen Zahl in R nicht gezogen werden kann. (Sondern nur in C: siehe Rechnen mit komplexen Zahlen )
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die gegebene Gleichung hat eine (Doppel-)Lösung für k=0, hat 2 Lösungen für k>0 und hat keine Lösung in R für k<0.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.