Aufgabe 65

Quadratische Gleichung mit einer Variablen

1. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer quadratischen Gleichung ?
2. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer normierten quadratischen Gleichung?
3. Teilaufgabe: Dokumentiere durch ein Beispiel, wie man eine quadratische Gleichung, in eine normierte quadratische Gleichung überführen kann.

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Quadratische Gleichung mit einer Variablen: Es soll der Unterschied zwischen einer allgemeinen quadratischen Gleichung und einer normierten quadratischen Gleichung herausgearbeitet werden.

Lösungsweg

Es soll der Unterschied zwischen einer allgemeinen quadratischen Gleichung und einer normierten quadratischen Gleichung herausgearbeitet werden.

 

1. Teilaufgabe:
Quadratische Gleichung:

Gemäß der Formel für die "Rechnerische Lösung einer allgemeinen Quadratischen Gleichung mittels der abc- oder Mitternachtsformel" gilt:
\(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\,a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

  • Wenn a = 0, dann verschwindet x2 und es würde nur mehr eine lineare Gleichung vorliegen.
  • Wenn a = 1 spricht man von einer normierten quadratischen Gleichung.
  • Wenn a ≠ 1 ist, dann kann man die quadratische Gleichung mittels Division durch a in eine normierte quadratische Gleichung überführen.

2. Teilaufgabe:
Normierte quadratische Gleichung

Gemäß der Formel für die "Rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq Formel" gilt:
\({x^2} + px + q = 0\)

  • Bei der normierten quadratischen Gleichung steht rechts vom „=“ eine „Null“.

3. Teilaufgabe:
Ein beliebiges Beispiel

\(\eqalign{ & 5{x^2} + 15x - 10 = 5\,\,\left| { - 5} \right. \cr & 5{x^2} + 15x - 15 = 0 \cr}\)

oder allgemeiner angeschrieben:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = d\,\,\,\,\,\left| { - d} \right. \cr & {x^2} + bx + \left( {c - d} \right) = 0 \cr}\)

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet

  • Für die 1. Teilaufgabe: \(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit }}a \ne 0;\)
  • Für die 2. Teilaufgabe: \({x^2} + px + q = 0;\)
  • Für die 3. Teilaufgabe: Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn an Hand eines beliebiges Beispiels die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung in die zugehörige normierte Form einer quadratischen Gleichung übergeführt wird. Man sorgt dabei dafür, dass rechts vom „=“ eine „Null“ steht \(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = d\,\,\,\,\,\left| { - d} \right. \cr & {x^2} + bx + \left( {c - d} \right) = 0 \cr} \)

Lösungsschlüssel:
Für jede der 3 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.