Zufallsvariable
Formel
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zuordnet.
\(X:\Omega \to R;\,\,\,X:\omega \to X\left( \omega \right) = x\)
Das Ergebnis einfacher Zufallsexperimente ist etwa eine Augenzahl beim Würfeln oder "Kopf" oder "Zahl" beim Werfen einer Münze. Bei komplexeren Zufallsexperimenten ist das Ergebnis vom Experiment meist praktischer Weise eine Zahl. Der Großbuchstabe X steht dabei für die Zufallsvariable und der Kleinbuchstabe x steht für den einen, ganz konkreten Wert, den X annimmt. Man sagt auch, dass x die Zufallsvariable X "realisiert" und dass diese konkrete Realisation mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt.
Man unterscheidet zwischen
- diskreten Zufallsvariablen, die durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben werden
- stetigen Zufallsvariablen, die durch eine Dichtefunktion beschrieben werden
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Ergebnisse eines Zufallsexperiments auftreten. Sie lässt sich auf 2 Arten, bei gleichem Informationsgehalt aber unterschiedlicher Darstellung, beschreiben:
Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Zufallsvariablen
Für diskrete Zufallsvariablen (Bernoulli Verteilung, Binomialverteilung, Poissonverteilung, hypergeometrische Verteilung) liegt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von jedem einzelnen Wert zwischen 0 und 1. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten beträgt 1 (entsprechend 100%). Die Beschreibung erfolgt durch die
- Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x): \(f\left( x \right) = P\left( {X = x} \right)\)
- Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \sum\limits_{{x_i} \leqslant x} {f\left( {{x_i}} \right)} \)
Wahrscheinlichkeitsverteilung für stetige Zufallsvariablen
Für stetige Zufallsvariablen (Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung) beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten jedes einzelnen Werts der Zufallsvariablen exakt Null. Die Beschreibung erfolgt durch die
- Dichtefunktion f(x): \(P\left( {a < X \le b} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) wobei \(\int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( x \right)} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = 1\)
- Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt immer Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
- Die Dichtefunktion ist für stetige Zufallsvariablen das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion von diskreten Zufallsvariablen. Sie kann nur positive Werte annehmen und die gesamte Fläche unter ihrem Graph hat den Wert 1. Aus der Dichtefunktion f(x) lässt sich keine Wahrscheinlichkeit P(X) ablesen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine stetige Zufallsvariable X einen konkreten Wert x annimmt immer Null ist. Es gilt also: \(f\left( x \right) \ne P\left( {X = x} \right)\)
- Verteilungsfunktion F(x): \(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {f\left( t \right)\,\,dt} \)
- Auf der y-Achse der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \le {x_1}} \right)\) ablesen, höchstens den Wert x1 zu erreichen.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Schließende Statistik | Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen. Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wertet die Ergebnisse von Zufallsexperimenten aus. |
Aktuelle Lerneinheit
Zufallsvariable | Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zu. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Standardnormalverteilung | Unter der Standardnormalverteilung versteht man die mit μ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung. Mit Hilfe der z-Transformation rechnet man beliebige Erwartungswerte bzw. Standardabweichungen auf die Standardnormalverteilung um. |
Konfidenzintervall | Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. |
Gleichverteilung - Disparität - Konzentration | Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint. |
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung | Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (zB ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft". |
Exponentialverteilung | Die Exponetialfunktion wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. |
Rechteckverteilung | Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. |
Normalverteilung | Die Normalverteilung, auch gaußsche-Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. |
Hypergeometrische Verteilung | Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. |
Poissonverteilung | Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung wenn n sehr groß (größer 100) ist, verbunden mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit die gegen Null konvergiert |
Bernoulli-Verteilung | Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. |
Histogramm der Häufigkeitsverteilung | Histogramme schauen ähnlich aus wie Balkendiagramme - man benötigt zu deren grafischer Darstellung die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte) |
Stetige Zufallsvariable | Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich, also nicht abzählbar, ist. |
Diskrete Zufallsvariable | Für diskrete Zufallsvariablen ist die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments endlich, also abzählbar. Sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. |
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten | Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Wir unterscheiden zwischen Bernoulli und Laplace Experiment. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1043
AHS - 1_043 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Gustav kommt in der Nacht nach Hause und muss im Dunkeln die Haustüre aufsperren. An seinem ringförmigen Schlüsselbund hängen fünf gleiche Schlüsseltypen, von denen nur einer sperrt. Er beginnt die Schlüssel zufällig und nacheinander zu probieren. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl k der Schlüssel an, die er probiert, bis die Tür geöffnet ist.
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(P\left( {X = k} \right)\) |
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie in der Tabelle die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und ermitteln Sie den Erwartungswert E(X) dieser Zufallsvariablen X!
Aufgabe 1496
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zufallsvariable
Nachstehend sind die sechs Seitenflächen eines fairen Spielwürfels abgebildet. Auf jeder Seitenfläche sind drei Symbole dargestellt. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.)
- 1. Seitenfläche:
- 2. Seitenfläche:
- 3. Seitenfläche:
- 4. Seitenfläche:
- 5. Seitenfläche:
- 6. Seitenfläche:
Aufgabenstellung:
Bei einem Zufallsversuch wird der Würfel einmal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sterne auf der nach oben zeigenden Seitenfläche. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an, d. h. die möglichen Werte von X samt zugehöriger Wahrscheinlichkeiten!
Aufgabe 1447
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwartungswert
Die nachstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X, die die Werte k = 1, 2, 3, 4, 5 annehmen kann.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X)!
Aufgabe 1472
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Der Wertebereich einer Zufallsvariablen X besteht aus den Werten \({x_1},{x_2},{x_3}\). Man kennt die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = {x_1}} \right) = 0,4\). Außerdem weiß man, dass x3 doppelt so wahrscheinlich wie x2 ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(P\left( {X = {x_2}} \right){\text{ und P}}\left( {X = {x_3}} \right)\)!
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Aufgabe 1375
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwartungswert
Die nachstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X, bei der jedem Wert k (k = 1, 2, 3, 4, 5) die Wahrscheinlichkeit P(X = k) zugeordnet wird.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X!
Aufgabe 1044
AHS - 1_044 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 25 und p = 0,15. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, sodass die Zufallsvariable X höchstens den Wert 2 annimmt.
- Aussage 1: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,15^2} \cdot {0,85^{23}}\)
- Aussage 2: \({0,85^{25}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,15^1} \cdot {0,85^{24}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,15^2} \cdot {0,85^{23}}\)
- Aussage 3: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,15^1} \cdot {0,85^{24}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,15^2} \cdot {0,85^{23}}\)
- Aussage 4: \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,15^2} \cdot {0,85^{23}}\)
- Aussage 5: \(1 - \left[ {{{0,85}^{25}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 1 \end{array}} \right) \cdot {{0,15}^1} \cdot {{0,85}^{24}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot {{0,15}^2} \cdot {{0,85}^{23}}} \right]\)
- Aussage 6: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {25} \\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,85^2} \cdot {0,15^{23}}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie den zutreffenden Term an!
Aufgabe 1141
AHS - 1_141 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
FSME-Infektion
Infizierte Zecken können durch einen Stich das FSME-Virus (Frühsommer-Meningoenzephalitis) auf den Menschen übertragen. In einem Risikogebiet sind etwa 3 % der Zecken FSME-infiziert. Die FSME-Schutzimpfung schützt mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % vor einer FSME-Erkrankung.
Aufgabenstellung:
Eine geimpfte Person wird in diesem Risikogebiet von einer Zecke gestochen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person durch den Zeckenstich an FSME erkrankt!
Aufgabe 1498
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeit für eine Mädchengeburt
Im Jahr 2014 wurden in Österreich 42 162 Buben und 39 560 Mädchen geboren.
Aufgabenstellung:
Geben Sie anhand dieser Daten einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit P an, dass ein in Österreich geborenes Kind ein Mädchen ist!
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 1449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Augensumme
Zwei unterscheidbare, faire Spielwürfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden geworfen und die Augensumme wird ermittelt. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflachen gleich groß ist.)
Aufgabenstellung:
Jemand behauptet, dass die Ereignisse „Augensumme 5“ und „Augensumme 9“ gleichwahrscheinlich sind. Geben Sie an, ob es sich hierbei um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Aufgabe 1014
AHS - 1_014 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeit eines Defekts
Eine Maschine besteht aus den drei Bauteilen A, B und C. Diese haben die im nachstehenden Modell eingetragenen, voneinander unabhängigen Defekthäufigkeiten. Eine Maschine ist defekt, wenn mindestens ein Bauteil defekt ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \geqslant 2} \right)\), dass bei einer Maschine zwei oder mehr Bauteile defekt sind
Aufgabe 1401
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mehrere Wahrscheinlichkeiten
In einer Unterrichtsstunde sind 15 Schülerinnen und 10 Schüler anwesend. Die Lehrperson wählt für Überprüfungen nacheinander zufällig drei verschiedene Personen aus dieser Schulklasse aus. Jeder Prüfling wird nur einmal befragt.
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schülerinnen auswählt, kann mittels \(\dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{25}} \cdot \dfrac{{13}}{{25}}\) berechnet werden.
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson als erste Person einen Schüler auswählt, ist \(\dfrac{{10}}{{25}}\).
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson bei der Wahl von drei Prüflingen als zweite Person eine Schülerin auswählt, ist \(\dfrac{{24}}{{25}}\).
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schüler auswählt, kann mittels \(\dfrac{{10}}{{25}} \cdot \dfrac{9}{{24}} \cdot \dfrac{8}{{23}}\) berechnet werden.
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den von der Lehrperson ausgewählten Personen genau zwei Schülerinnen befinden, kann mittels \(\dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{24}} \cdot \dfrac{{23}}{{23}}\) berechnet werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1497
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Einlasskontrolle
Beim Einlass zu einer Sportveranstaltung führt eine Person P einen unerlaubten Gegenstand mit sich. Bei einer Sicherheitskontrolle wird ein unerlaubter Gegenstand mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 entdeckt. Da es sich bei dieser Sportveranstaltung um eine Veranstaltung mit besonders hohem Risiko handelt, muss jede Person zwei derartige voneinander unabhängige Sicherheitskontrollen durchlaufen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Person im Zuge der beiden Sicherheitskontrollen der unerlaubte Gegenstand entdeckt wird!
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen