Aufgabe 1496
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zufallsvariable
Nachstehend sind die sechs Seitenflächen eines fairen Spielwürfels abgebildet. Auf jeder Seitenfläche sind drei Symbole dargestellt. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflächen gleich groß ist.)
- 1. Seitenfläche:
- 2. Seitenfläche:
- 3. Seitenfläche:
- 4. Seitenfläche:
- 5. Seitenfläche:
- 6. Seitenfläche:
Aufgabenstellung:
Bei einem Zufallsversuch wird der Würfel einmal geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sterne auf der nach oben zeigenden Seitenfläche. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an, d. h. die möglichen Werte von X samt zugehöriger Wahrscheinlichkeiten!
Lösungsweg
Wir machen uns eine kleine Tabelle: Es gibt 6 mögliche Fälle
Zufallsvariable X = Anzahl der Sterne | Seitenflächen | insgesamt = günstige Fälle |
x1=0 | 5 | 1 |
x2=1 | 1, 2, 3 | 3 |
x3=2 | 4, 6 | 2 |
x4=3 | keine | 0 |
Laplace Wahrscheinlichkeit:
\(P\left( X \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)
Die Zufallsvariable X (also die Anzahl der Sterne je Fläche) kann die Werte x1=0, x2=1 und x3=3 annehmen. Für die jeweils zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) gilt:
\(\eqalign{ & P\left( {X = 0} \right) = \dfrac{1}{6} \cr & P\left( {X = 1} \right) = \dfrac{3}{6} \cr & P\left( {X = 2} \right) = \dfrac{2}{6} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & P\left( {X = 0} \right) = \dfrac{1}{6} \cr & P\left( {X = 1} \right) = \dfrac{3}{6} \cr & P\left( {X = 2} \right) = \dfrac{2}{6} \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die korrekte Angabe aller möglichen Werte, die die Zufallsvariable X annehmen kann, und der jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X). Andere Schreibweisen der Ergebnisse sind ebenfalls als richtig zu werten. Eine korrekte grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ebenfalls als richtig zu werten.