Aufgabe 1014
AHS - 1_014 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeit eines Defekts
Eine Maschine besteht aus den drei Bauteilen A, B und C. Diese haben die im nachstehenden Modell eingetragenen, voneinander unabhängigen Defekthäufigkeiten. Eine Maschine ist defekt, wenn mindestens ein Bauteil defekt ist.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \geqslant 2} \right)\), dass bei einer Maschine zwei oder mehr Bauteile defekt sind
Lösungsweg
Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm
- Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
- Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten
Im Wissen über die Produktregel und die Summenregel bei Pfaden im Baumdiagramm suchen wir all jene Pfade, die zu 2 oder mehr defekten Bauteilen führen und summieren diese dann auf, um \(P\left( {X \geqslant 2} \right)\) zu erhalten.
\(\begin{array}{l} P\left( {X \ge 2} \right) = \left( {\dfrac{{95}}{{100}} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot \dfrac{2}{{10}}} \right) + \left( {\dfrac{5}{{100}} \cdot \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{2}{{10}}} \right) + \left( {\dfrac{5}{{100}} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot \dfrac{8}{{10}}} \right) + \left( {\dfrac{5}{{100}} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot \dfrac{2}{{10}}} \right) = \\ = \dfrac{{95}}{{5000}} + \dfrac{{45}}{{5000}} + \dfrac{{20}}{{5000}} + \dfrac{5}{{5000}} = \dfrac{{165}}{{5000}} = \dfrac{{33}}{{1000}} = 0,033 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( {X \ge 2} \right) = 0,033\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn der Wert der Wahrscheinlichkeit korrekt angegeben ist.