Aufgabe 1449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Augensumme
Zwei unterscheidbare, faire Spielwürfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden geworfen und die Augensumme wird ermittelt. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflachen gleich groß ist.)
Aufgabenstellung:
Jemand behauptet, dass die Ereignisse „Augensumme 5“ und „Augensumme 9“ gleichwahrscheinlich sind. Geben Sie an, ob es sich hierbei um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt, und begründen Sie Ihre Entscheidung!
Lösungsweg
Nachdem der Würfel „fair“ ist, kommen alle Augenzahlen mit derselben Wahrscheinlichkeit vor. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eine gewisse Augensumme zu würfeln, durch folgende Berechnung: \(P\left( {{\rm{Augensumme}}} \right) = \dfrac{{{\rm{Anz}}{\rm{.}}\,{\rm{günstige}}\,{\rm{Fälle}}}}{{{\rm{Anz}}{\rm{.}}\,{\rm{mögliche}}\,{\rm{Fälle}}}}\)
Wir beginnen zunächst mit den möglichen Fällen. Wir haben für den ersten Würfel 6 mögliche Ausgänge/Zahlen, allerdings haben wir auch für den 2. Würfel 6 mögliche Ausgänge/Zahlen. Das heißt wir haben für jede Zahl des ersten Würfels 6 Möglichkeiten für den 2. Würfel. Nachdem wir für den 1. Würfel auch 6 Möglichkeiten haben, haben wir insgesamt \(6 \cdot 6 = 36\) Um nun die günstigen Fälle für beide Möglichkeiten zu erhalten, müssen wir lediglich die möglichen Kombinationen aufschreiben und zählen.
Haben die Ereignisse „Augensumme 5“ und „Augensumme 9“ die gleiche Anzahl an Möglichkeiten, so sind sie auch gleich wahrscheinlich.
Anzahl der möglichen Fälle = 36
- Fall: Augensumme 5: Anzahl der günstigen Fälle = |{(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)}| = 4 → \(P\left( {{\text{Augensumme = 5}}} \right) = \dfrac{4}{{36}} = \dfrac{1}{9}\)
- Fall Augensumme 9: Anzahl der günstigen Fälle = |{(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3)}|=4 → \(P\left( {{\text{Augensumme = 9}}} \right) = \dfrac{4}{{36}} = \dfrac{1}{9}\)
Die Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln 5 zu würfeln ist genauso hoch, wie mit 2 Würfeln 9 zu würfeln. Die Aussage ist somit wahr.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Aussage ist: wahr
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Beurteilung der Aussage und eine (sinngemäß) korrekte Begründung. Andere korrekte Begründungen sind ebenfalls als richtig zu werten.