Aufgabe 4509
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Scheiben für PKWs - Aufgabe B_527
Ein Betrieb stellt Frontscheiben und Heckscheiben für PKWs her.
Teil a
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Kostenfunktion K und der Graph der quadratischen Erlösfunktion E für Frontscheiben eines bestimmten Typs dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der quadratischen Erlösfunktion E auf.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Stellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Preisfunktion der Nachfrage auf.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Gewinnzone ab.
[ ; ]
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir sollen die quadratische Gleichung aufstellen, die der parabelförmig verlaufenden Erlösfunktion entspricht. Die gesuchte Gleichung ist daher vom Typ
\(E(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Wir benötigen drei Gleichungen, um die drei Unbekannten berechnen zu können:
\(\begin{array}{l} E\left( {x = 0} \right) = 0 \to c = 0\\ E(x = 90) = 1200\\ E(x = 180) = 0\\ \\ a \cdot {90^2} + b \cdot 90 = 1200\\ a \cdot {180^2} + b \cdot 180 = 0\\ \\ {90^2}a + 90b = 1200;\\ {180^2}a + 180b = 0;\\ \\ a = - \dfrac{4}{{27}}\\ b = \dfrac{{80}}{3}\\ \\ E(x) = - \dfrac{4}{{27}} \cdot {x^2} + \dfrac{{80}}{3} \cdot x \end{array}\)
Das Gleichungssystem haben wir mit Wolfram Alpha gelöst: 90^(2)a+90b=1200;180^(2)a+180b=0;
2. Teilaufgabe:
Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Gutes und der nachgefragten Menge an. Dafür gilt ganz allgemein:
\({p_N}\left( x \right) = \dfrac{{E\left( x \right)}}{x}\)
Durch Einsetzen ergibt sich die Preisfunktion der Nachfrage
\({p_N}(x) = - \dfrac{4}{{27}} \cdot x + \dfrac{{80}}{3}\)
3. Teilaufgabe:
Die Gewinnzone liegt dort, wo die Kosten niedriger sind als der erzielte Erlös.
→ Intervall der Gewinnzone: [40;95]
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(E(x) = - \dfrac{4}{{27}} \cdot {x^2} + \dfrac{{80}}{3} \cdot x\)
2. Teilaufgabe
\({p_N}(x) = - \dfrac{4}{{27}} \cdot x + \dfrac{{80}}{3}\)
3. Teilaufgabe
Intervall der Gewinnzone: [40;95]
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Erlösfunktion E.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage pN.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Ablesen der richtigen Gewinnzone.