Aufgabe 213
Rechnen mit Logarithmen
1. Teilaufgabe:
Berechne x
\({2^x} = \dfrac{1}{8}\)
2. Teilaufgabe:
\({2^x} = \sqrt[3]{4}\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
\({2^x} = \dfrac{1}{8}\)
Da x der Exponent zur Basis 2 ist, wenden wir die Regeln für das Rechnen mit Logarithmen als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an. Dabei verwenden wir den Binären Logarithmus, weil der die Zahl 2 als Basis hat.
\(\eqalign{
& {2^x} = \dfrac{1}{8}\,\,\,\,\,\left| {lb} \right. \cr
& lb\left( {{2^x}} \right) = lb\left( {0,125} \right) \cr
& x \cdot lb\left( 2 \right) = lb\left( {0,125} \right) \cr
& x = \dfrac{{lb\left( {0,125} \right)}}{{lb\left( 2 \right)}} = \dfrac{{lb\left( {0,125} \right)}}{1} = lb\left( {0,125} \right) = - 3 \cr} \)
2. Teilaufgabe
\({2^x} = \sqrt[3]{4}\)
Da x der Exponent zur Basis 2 ist, wenden wir die Regeln für das Rechnen mit Logarithmen als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an. Wie bei der 1. Teilaufgabe würde es sich anbieten wieder den Binären Logarithmus zu wählen, weil der die Zahl 2 als Basis hat. Wir erhalten aber auch das richtige Resultat wenn wir mit dem ln arbeiten, welcher die eulersche Zahl als Basis hat.
\(\eqalign{
& {2^x} = \root 3 \of 4 \,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr
& \ln \left( {{2^x}} \right) = \ln \left( {\root 3 \of 4 } \right) \cr
& x \cdot \ln \left( 2 \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \ln \left( 4 \right) \cr
& x = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{\ln \left( 4 \right)}}{{\ln \left( 2 \right)}} = \dfrac{{\ln \left( 4 \right)}}{{3 \cdot \ln \left( 2 \right)}} = \frac{2}{3} \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(x = - 3\)
2. Teilaufgabe
\(x = \dfrac{2}{3}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist jeweils genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.