Aufgabe 258
Lösung einer Exponentialgleichung mittels Logarithmieren
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)
mit
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
gilt:
\(\eqalign{
& \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr
& 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right)\,\,\,\,\,\left| { - x \cdot \ln \left( {10} \right)\,\,\,\,\,\left| { + \ln \left( 3 \right)} \right.} \right. \cr
& x \cdot 2 \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right) \cr
& x \cdot \left( {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right) = \ln \left( 3 \right) \cr
& x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{2\ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)}} \approx - 10,4271 \cr
& \cr
& {\text{Probe:}} \cr
& {3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x} \to {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\,\,\,\,\,wzbw \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(x \approx - 10,4271\)