Aufgabe 259
Rechnen mit Logarithmen mit beliebiger Basis
Berechne die Logarithmen ohne Taschenrechner:
1. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 8 \right)\)
2. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 1 \right)\)
3. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {32} \right)\)
4. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {\dfrac{1}{8}} \right)\)
5. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {81} \right)\)
6. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {\sqrt 3 } \right)\)
7. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {0,2} \right)\)
8. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {125} \right)\)
9. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {1.000.000} \right)\)
10. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {0,0001} \right)\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 8 \right) \to 8 = {2^x} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = {2^3} \to x = 3\)
2. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 1 \right) \to 1 = {2^x} = {2^0} \to x = 0\)
3. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {32} \right) \to 32 = {2^x} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = {2^5} \to x = 5\)
4. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {\frac{1}{8}} \right) \to \dfrac{1}{8} = {2^x} \to \dfrac{1}{{2 \cdot 2 \cdot 2}} = \dfrac{1}{{{2^3}}} = {2^x} \to x = - 3\)
5. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {81} \right) \to 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = {3^4} \to x = 4\)
6. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {\sqrt 3 } \right) \to x = {\log _3}\left( {{3^{\dfrac{1}{2}}}} \right) \to x = \dfrac{1}{2}\)
7. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {0,2} \right) \to x = {\log _5}\left( {\dfrac{1}{5}} \right) \to \dfrac{1}{{{5^1}}} = {5^x} \to x = - 1\)
8. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {125} \right) \to 125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = {5^3} \to x = 3\)
9. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {1.000.000} \right) \to 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = {10^6} \to x = 6\)
10. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {0,0001} \right) \to x = {\log _{10}}\left( {\dfrac{1}{{10.000}}} \right) \to \dfrac{1}{{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}} = \dfrac{1}{{{{10}^4}}} = {10^x} \to x = - 4\)
Ergebnis
Die richtigen Lösungen lauten:
1. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 8 \right) \to x = 3\)
2. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( 1 \right) \to x = 0\)
3. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {32} \right) \to x = 5\)
4. Teilaufgabe: \(x = {\log _2}\left( {\frac{1}{8}} \right) \to x = - 3\)
5. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {81} \right) \to x = 4\)
6. Teilaufgabe: \(x = {\log _3}\left( {\sqrt 3 } \right) \to x = \dfrac{1}{2}\)
7. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {0,2} \right) \to x = - 1\)
8. Teilaufgabe: \(x = {\log _5}\left( {125} \right) \to x = 3\)
9. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {1.000.000} \right) \to x = 6\)
10. Teilaufgabe: \(x = {\log _{10}}\left( {0,0001} \right) \to x = - 4\)