Spitze minus Schaft Regel
Man erhält den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem man komponentenweise die Koordinaten von der Spitze minus jener vom Schaft anschreibt.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Beschriftung im kartesischen Koordinatensystem
Die drei Koordinatenachsen stehen im kartesischen Koordinatensystem orthogonal (in 90°) aufeinander. Die Achsen werden entweder mit x,y und z beschriftet oder mit x1, x2, x3.
Punkt im \({{\Bbb R}^2},\,\,\,{{\Bbb R}^3}\)
Die Lage eines Punkts ist durch den Abstand je Koordinatenrichtung vom Ursprung des Koordinatensystems bestimmt. Abhängig davon, wie die Koordinatenachsen beschriftet wurdenm gibt es unterschiedliche Möglichkeiten Punkte und Vektoren zu beschriften
\(\begin{array}{l} {\Bbb R^{2:}}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}} \right.} \right)\\ {\Bbb R^3}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}\left| {{P_z}} \right.} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {{P_3}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)
Skalar
Skalar ist ein Ausdruck in der Vektorrechnung für eine relle Zahl. Man verwendet den Begriff Skalar um die Richtungsunabhängigkeit einer Größe im Unterschied zum richtungsabhängigen Vektor zu betonen.
Vektor
Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene oder im Raum. Jeder Vektor ist durch Richtung, Orientierung und durch Betrag gekennzeichnet. Vektoren können im Raum beliebig parallelverschoben werden, d.h. ihr Anfangspunkt kann beliebig festgelegt werden, daraus ergibt sich dann ein eindeutiger Endpunkt. Vektoren spielen in der Physik eine große Rolle, so ist etwa die Geschwindigkeit kein Skalar, sondern ein Vektor.
- Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil, mit einem Schaft und einer Spitze (definiert die Orientierung) repräsentiert.
- Algebraisch sind Vektoren eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (ax,ay,az) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt
\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \overrightarrow {{a_x}} + \overrightarrow {{a_y}} + \overrightarrow {{a_z}} = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) \cr & \overrightarrow a = {a_x} \cdot \overrightarrow i + {a_y} \cdot \overrightarrow j + {a_z} \cdot \overrightarrow k \cr}\)
Illustration eines Vektors vom Ursprung zum Punkt P
Gegenvektor
Den Gegenvektor erhält man, indem man den Ausgangsvektor um 180° dreht, bzw. indem man den Ausgangsvektor mit dem Skalar -1 multipliziert. Vektor und Gegenvektor haben den gleichen Betrag, die gleiche Richtung aber entgegengesetzte Orientierung.
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_x}}\\
{{a_y}}\\
{{a_z}}
\end{array}} \right) \Leftrightarrow - \overrightarrow a = - 1 \circ \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {a_x}}\\
{ - {a_y}}\\
{ - {a_z}}
\end{array}} \right)\)
Betrag eines Vektors
Der Betrag bzw. die Länge des Vektors ergeben sich aus dem Abstand zwischen seinem Anfangspunkt, dem Schaft im Punkt "P" und seinem Endpunkt, also seiner Spitze in "Q".
\(\left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)
Illustration zur Richtung und zur Berechnung vom Betrag eines zweidimensionalen Vektors
Richtung des Vektors
Die Richtung eins Vektors ist durch seine Lage relativ zu den Achsen des Koordinatensystems bestimmt. Ein Vektor hat eine einzige Richtung! Die Richtung des Vektors kann man aus dem Arkustangens vom Quotienten aus der Differenz der y-Koordinaten und der Differenz der x-Koordinaten zweier Punkte vom Vektor berechnen.
\(\alpha = \arctan \dfrac{{{Q_y} - {P_y}}}{{{Q_x} - {P_x}}}\)
Orientierung eines Vektors
Vektoren mit gleicher Richtung haben entweder gleiche oder entgegengesetzte Orientierung. Die Orientierung wird durch Schaft und Spitze des Vektors definiert. Ein Gegenvektor ist ein Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung aber umgekehrter Orientierung als der betrachtete Vektor.
Gleiche Vektoren
Vektoren sind gleich, wenn sie gleich lang, parallel und gleich orientiert (Pfeilspitze) sind. Gleiche Vektoren können unterschiedliche Koordinatendarstellungen haben.
Illustration zur Orientierung, zur Gleichheit von Vektoren und zum Gegenvektor eines Vektors und zu Vektoren mit gleichem Betrag
Nullvektor
Der Nullvektor \(\overrightarrow 0\) hat keine bestimmte Richtung. Seine Länge (sein Betrag) ist null. Der Nullvektor ist das neutrale Element bezüglich der Addition von Vektoren. Schaft und Spitze vom Nullvektor fallen in einem Punkt zusammen.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow 0 = \left( {0\left| 0 \right.} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {AA} = 0 \end{array}\)
Der Nullvektor ist kollinear zu jedem anderen Vektor und komplanar zu einer von 2 Vektoren aufgespannten Ebene.
Basisvektor
Die Basisvektoren liegen jeweils in einer Koordinatenachse, ihre Länge d.h. ihr Betrag ist 1. Sie spannen das Koordinatensystem auf. Je Dimension gibt es einen eigenen Basisvektor. Seine Komponenten bestehen aus einer "1" und sonst nur aus Nullen.
\(\eqalign{ & \overrightarrow i = \left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr } } \right) \cr & \overrightarrow j = \left( {\matrix{ 0 \cr 1 \cr } } \right) \cr}\)
Einheitsvektor
Der Einheitsvektor \( \overrightarrow {{r_0}}\), hat dieselbe Richtung wie der Richtungs- bzw. der Ortsvektor \( \overrightarrow r\), seine Länge wurde aber auf 1 normiert.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{r_0}} = {{\overrightarrow r } \over {\left| r \right|}} = \left( {\matrix{ {{{{r_x}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr {{{{a_y}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr } } \right) \cr & {\rm{mit}}\,\,\,\left| {\overrightarrow r } \right| \ne 0 \cr}\)
Ortsvektor
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem gegebenen Punkt. Ein Ortsvektor \(\overrightarrow a\) hat seinen Anfang immer im Ursprung des Koordinatensystems. Seine Richtung, Orientierung und Betrag ergeben sich aus der Lage seines Endpunkts. Einen Ortsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag ändern.
\(\overrightarrow a = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j = \left( {\matrix{ x \cr y \cr } } \right) = \left( {x,y} \right)\)
Verbindungsvektor
Der Verbindungsvektor verbindet zwei Punkte im Raum. Es sind die Punkte P (Px l Py) und Q (Qx l Qy) gegeben. Der Verbindungsvektor ist jener Vektor, der in P seinen Schaft und in Q seine Spitze hat. Um ihn zu berechnen subtrahiert man vom Ortsvektor zu Q (Spitze) den Ortsvektor zu P (Schaft). Einen Verbindungsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag oder seine Orientierung ändern.
In \({{\Bbb R}^2}\):
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {UQ} - \overrightarrow {UP} = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)
In \({{\Bbb R}^3}\):
\(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right.} \right)\\ B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x} - {A_x}}\\ {{B_y} - {A_y}}\\ {{B_z} - {A_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)
"Spitze minus Schaft Regel": Man erhält den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem man Komponentenweise die Koordinaten von der Spitze minus jener vom Schaft anschreibt.
Illustration vom Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten
Richtungsvektor als Parallelvektor zum Verbindungsvektor
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) ist entweder der Verbindungsvektor oder ein zum Verbindungsvektor paralleler Vektor. Der Richtungsvektor hat zwar eine definierte Länge, aber keine feste Position im Koordinatensystem d.h. er kann parallel verschoben werden und ist noch immer ein Richtungsvektor. Der Verbindungsvektor ist ein besonderer Richtungsvektor, weil sein Anfangs- bzw. Endpunkt mit den besonderen Punkten P und Q zusammenfallen.
Mehrdimensionaler Vektor
Die Anzahl der Komponenten eines Vektors entspricht der Dimension des Raums. Dreidimensionale Vektoren spannen den uns vertrauten dreidimensionalen Raum aus Breite, Tiefe und Höhe auf. Vierdimensionale Vektoren spannen die Raum-Zeit der Physik auf. Bei höherdimensionalen Vektoren nummeriert man die Komponenten, weil die Dimensionen mitunter keinen anschaulichen Namen haben.
\(\eqalign{ & P = \left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {...\left| {{P_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr & Q = \left( {{Q_1}\left| {{Q_2}\left| {...\left| {{Q_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr}\)
n-dimensionaler Richtungsvektor von P nach Q:
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_1} - {P_1}}\\ {{Q_2} - {P_2}}\\ {...}\\ {{Q_n} - {P_n}} \end{array}} \right)\)
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Aufgaben
Aufgabe 106
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right);\)
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Aufgabe 107
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right);\)
Aufgabe 108
Parallelogramm mittels Vektoren berechnen
Gegeben ist ein Parallelogramm mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 3 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Prüfe, ob es sich tatsächlich „nur“ um ein Parallelogramm handelt, oder ob nicht sogar ein Rechteck vorliegt
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von D auf 2 Arten
3. Teilaufgabe: Berechne den Umfang der Figur
Aufgabe 109
Quadrat mittels Vektorrechnung berechnen
Gegeben sei ein Quadrat mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Überlege, wie viele Quadrate es geben kann
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von C und D
Aufgabe 1297
AHS - 1_297 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punkt und Gerade
Gegeben sind der Punkt \(P = \left( { - 1\left| {5\left| 6 \right|} \right.} \right)\) und die Gerade g, die durch die Punkte \(A = \left( {2\left| { - 3\left| 2 \right.} \right.} \right)\) und \(B = \left( {5\left| {1\left| 0 \right.} \right.} \right)\) verläuft.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, ob der gegebene Punkt P auf der Geraden g liegt, und überprüfen Sie diese Aussage anhand einer Rechnung!
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Aufgabe 1539
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Teilungspunkt
Die gegebene Strecke AB wird innen durch den Punkt T im Verhältnis 3:2 geteilt.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Stellen Sie eine Formel für die Berechnung des Punkts T auf!
Aufgabe 1562
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quader mit quadratischer Grundfläche
Die nachstehende Abbildung zeigt einen Quader, dessen quadratische Grundfläche in der xy-Ebene liegt. Die Länge einer Grundkante beträgt 5 Längeneinheiten, die Körperhöhe beträgt 10 Längeneinheiten. Der Eckpunkt D liegt im Koordinatenursprung, der Eckpunkt C liegt auf der positiven y-Achse. Der Eckpunkt E hat somit die Koordinaten E = (5|0|10).
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie die Koordinaten (Komponenten) des Vektors \(\overrightarrow {HB}\) an!
Aufgabe 1441
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektor
Gegeben sind die beiden Punkte \(A = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)und \(B = \left( {3\left| { - 1} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Vektor \(\overrightarrow n\) an, der auf den Vektor \(\overrightarrow {AB}\) normal steht!
Aufgabe 1618
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rechter Winkel
Gegeben ist eine Strecke \(AB{\text{ im }}{{\Bbb R}^2}{\text{ mit }}A = \left( {3\left| 4 \right.} \right){\text{ und }}B = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen möglichen Vektor \(\overrightarrow n \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow n \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\)
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