Aufgabe 1441

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Normalvektor

Gegeben sind die beiden Punkte \(A = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)und \(B = \left( {3\left| { - 1} \right.} \right)\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Vektor \(\overrightarrow n\) an, der auf den Vektor \(\overrightarrow {AB}\) normal steht!

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

Spitze minus Schaft Regel

\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\matrix{ {{Q_x} - {P_x}} \cr {{Q_y} - {P_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr } } \right);\)

Links Kipp Regel

\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right); \cr & {\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\matrix{ { - {a_y}} \cr {{a_x}} \cr } } \right); \cr}\)

Rechts Kipp Regel

\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right); \cr & {\overrightarrow n _{{\rm{rechts}}}} = \left( {\matrix{ {{a_y}} \cr { - {a_x}} \cr } } \right); \cr}\)

Lösungsweg

Wir haben 2 Punkte A und B gegeben und errechnen den Verbindungsvektor gemäß der "Spitze minus Schaft Regel"

\(\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( 3 \right) - \left( { - 2} \right)}\\ {\left( { - 1} \right) - \left( 1 \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 2} \end{array}} \right)\)

Nun wenden wir die "Links Kipp Regel" an - wir hätten uns genauso gut für die "Rechts Kipp Regel" entscheiden können:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 2} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {{n_l}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 5 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {{n_r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 5} \end{array}} \right) \end{array}\)

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

\(\overrightarrow {{n_l}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 5 \end{array}} \right)\) oder gleichwertig \(\overrightarrow {{n_r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 5} \end{array}} \right)\)

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Jeder Vektor \(\overrightarrow n\) mit \(\overrightarrow n = c \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 5 \end{array}} \right)\) wobei \(c \in {\Bbb R},\,\,\,c \ne 0\) ist ebenfalls als richtig zu werten.