Aufgabe 1539

Die Strecke AB soll durch den Punkt T im Verhältnis 3:2 geteilt werden. Das bedeutet, dass Punkt T 3 Einheiten von Punkt A entfernt ist und 2 Einheiten von Punkt B. Insgesamt teilen wir die Strecke AB somit in 5 Einheiten.

Nun müssen wir noch darauf achten, in welchem Punkt A oder B wir uns befinden und in welche Richtung wir daher bei der Berechnung des Punktes T gehen müssen.

Der Vektor \(\overrightarrow {AB} = B - A\) hat die Orientierung von A nach B, hingegen hat der Vektor \(\overrightarrow {BA} = A - B\) die Orientierung von B nach A.

1. Berechnungsvariante:
Wir starten wir im Punkt A und gehen mit dem Vektor \(\overrightarrow {AB} = B - A\) von A in Richtung B. Da der Punkt T genau \(\dfrac{3}{5}\) der Strecke AB von A entfernt liegt, erhalten wir folgende Formel: \(T = A + \dfrac{3}{5} \cdot \overrightarrow {AB} \)

2. Berechnungsvariante:
Natürlich kann man alternativ auch im Punkt B starten. Dabei müssen wir nun aber \(\dfrac{2}{5}\) in die entgegengesetzte Richtung \(\overrightarrow {BA}\) gehen: \(T = B + \dfrac{2}{5} \cdot \overrightarrow {BA} \)

3. Berechnungsvariante:
Eine alternative Form erhalten wir, indem wir in die Definition des Verbindungsvektors \(\overrightarrow {AB} \) bzw. \(\overrightarrow {BA} \) wie folgt einsetzen. „Spitze minus Schaft Regel“:

\(\eqalign{ & T = A + \dfrac{3}{5} \cdot \overrightarrow {AB} = \dfrac{5}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B - \frac{3}{5} \cdot A = \dfrac{2}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B \cr & T = B + \dfrac{2}{5} \cdot \overrightarrow {BA} = \dfrac{5}{5} \cdot B + \dfrac{2}{5} \cdot A - \frac{2}{5} \cdot B = \dfrac{2}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B \cr} \)

Man sieht, dass die beiden obigen Lösungen gleichbedeutend sind.