Aufgabe 1297
AHS - 1_297 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punkt und Gerade
Gegeben sind der Punkt \(P = \left( { - 1\left| {5\left| 6 \right|} \right.} \right)\) und die Gerade g, die durch die Punkte \(A = \left( {2\left| { - 3\left| 2 \right.} \right.} \right)\) und \(B = \left( {5\left| {1\left| 0 \right.} \right.} \right)\) verläuft.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, ob der gegebene Punkt P auf der Geraden g liegt, und überprüfen Sie diese Aussage anhand einer Rechnung!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Spitze minus Schaft Regel
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\matrix{ {{Q_x} - {P_x}} \cr {{Q_y} - {P_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr } } \right);\)
Lösungsweg
Gemäß der Spitze minus Schaft Regel gilt:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x} - {A_x}}\\ {{B_y} - {A_x}} \end{array}} \right)\)
Wir setzen ein:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - 2}\\ {1 - \left( { - 3} \right)}\\ {0 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ { - 2} \end{array}} \right)\)
Wir ermitteln nun die Gleichung der Geraden g aus dem Punkt A und dem Vektor \(\overrightarrow {AB}\) wie folgt:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 2 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ { - 2} \end{array}} \right)\)
Wir setzen nun für X den Punkt P ein, denn wenn P auf der Geraden g liegt, dann muss er die Geradengleichung unbedingt erfüllen:
\(\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 5\\ 6 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 2 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ { - 2} \end{array}} \right)\\ \\ \begin{array}{*{20}{r}} { - 1}& = &2& + &{{s_1} \cdot 3}& \Rightarrow &{{s_1} = - 1}\\ 5& = &{ - 3}& + &{{s_2} \cdot 4}& \Rightarrow &{{s_2} = 2}\\ 6& = &2& - &{{s_3} \cdot 2}& \Rightarrow &{{s_3} = - 2} \end{array} \end{array}\)
Da \({s_1} \ne {s_2} \ne {s_3}\) erfüllt der Punkt P die Geradengleichnung nicht und liegt daher nicht auf der Geradeng
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden g
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn der angeführte oder ein äquivalenter rechnerischer Nachweis, der zeigt, dass der Punkt P nicht auf der Geraden g liegt, erbracht wurde.