Normalvektor
Den Normalvektor zu einem gegebenen Vektor erhält man gemäß der Links- bzw. Rechtskippregel, dh es werden die x bzw. y Komponenten des Vektors vertauscht und bei einer der beiden Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Geometrische Operationen mittels Vektorrechnung
Append Regel
Die Append Regel kommt dann zur Anwendung, wenn von einem Anfangspunkt ausgehend ein Vektor hinzugefügt (to append) werden soll und die Koordinaten vom Endpunkt des Vektors gesucht sind. Man spricht dabei von der Punkt-Vektor Form. Die Komponenten vom Ortsvektor des Endpunktes erhält man, indem man je Achsenrichtung die Komponenten des Anfangspunkts und jene des Vektors addiert.
\(Q = P + \overrightarrow v = P + \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x} + {v_x}}\\ {{P_y} + {v_y}} \end{array}} \right)\)
Ein Punkt P plus ein Vektor v ergibt einen neuen Punkt Q
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Normalvektor bzw. Orthogonalvektor & Rechts-Kipp-Regel bzw. Links Kipp Regel
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann es zweckmäßig sein, einen Vektor nach rechts bzw. nach links zu kippen, d.h. um \( \pm 90^\circ \) zu drehen. Der so gekippte Vektor steht dann senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor, d.h. er wird zum Normalvektor, auch Orthogonalvektor genannt. Ein Beispiel dafür sind Höhenlinien oder Streckensymmetralen bei Dreiecken.
- Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Bei der Rechtskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der unteren Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\\ {\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {a_y}}\\ {{a_x}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}{\overrightarrow n _{_{rechts}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_y}}\\ { - {a_x}} \end{array}} \right) \end{array}\)
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Projektionssatz
Der Projektionssatz ist eine geometrische Interpretation vom Skalarprodukt. Dabei wird ein Vektor \(\overrightarrow b\) in zwei Komponenten zerlegt. Die eine Komponente hat den selben Richtungsvektor wie der Vektor \(\overrightarrow a\), die andere Komponente liegt senkrecht dazu. Das skalare Produkt ist definiert als das Produkt der Länge der Projektion von \(\overrightarrow b\)auf \(\overrightarrow a\), also \(\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \varphi\) und der Länge von \(\overrightarrow a\) also \(\left| {\overrightarrow a } \right|\)
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Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen Vektor, Vektorprojektionsformel
In der Mechanik ist es oft zweckmäßig Kräfte in Komponenten zu zerlegen, wobei diese Komponenten nicht zwangsläufig parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sein müssen. Dazu bedient man sich der Vektorprojektionsformel, wobei \(\left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right|\) die Projektion \(\overrightarrow b \)von auf \(\overrightarrow a \) heißt.
- Die Projektion von \(\overrightarrow b\) auf \(\overrightarrow a\), ist der Betrag \(\left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right|\), also eine reelle Zahl, die sich wie folgt ergibt:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right| = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \left| {\dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{{\left( {{a_x}} \right)}^2} + {{\left( {{a_y}} \right)}^2}} }}} \right|\\ {\rm{wobei }}0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \end{array}\)
- Die Längskomponente von Vektor b in Richtung vom Vektor a, das ist der Vektor \(\overrightarrow {{b_a}}\), ergibt sich zu
\(\overrightarrow {{b_a}} = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2}}} \cdot \overrightarrow a \)
Im Zähler vom Bruch steht das Skalarprodukt, also eine reelle Zahl, im Nenner vom Bruch steht das Quadrat vom Betrag, also ebenfalls eine reelle Zahl, womit der Bruch selbst ein Skalierungsfaktor für den Vektor \(\overrightarrow a\) ist. Das macht Sinn, denn es ist ja genau jener Anteil von \(\overrightarrow b\) gesucht, der in Richtung von \(\overrightarrow a\) wirkt.
Bild
Mittelpunkt einer Strecke bzw. Halbierungspunkt zwischen 2 Punkten
Den Mittelpunkt der Strecke von A nach B erhält man, indem man jeweils separat die x, y und z-Komponenten der beiden Punkte A, B addiert und anschließend durch 2 dividiert.
\(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right|} \right),\,\,\,\,\,B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ {H_{\overrightarrow {AB} }} = {M_{\overrightarrow {AB} }} = A + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x} + {B_x}}\\ {{A_y} + {B_y}}\\ {{A_z} + {B_z}} \end{array}} \right)\\ {H_{AB}}\left( {\dfrac{{{A_x} + {B_x}}}{2}\left| {\dfrac{{{A_y} + {B_y}}}{2}\left| {\dfrac{{{A_z} + {B_z}}}{2}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)
Teilungspunkt einer Strecke
Der Teilungspunkt T ist jener Punkt, der die Strecke von A nach B im Verhältnis λ teilt.
\(T = A + \lambda \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {1 - \lambda } \right)A + \lambda B\)
Schwerunkt eines Dreiecks
Um die Koordinaten vom Schwerpunkt eines Dreiecks zu berechnen, dessen 3 Eckpunkte gegeben sind, addiert man jeweils für jeden der 3 Eckpunkte gesondert die x, y und z-Komponenten und dividiert anschließend die jeweilige Summe durch 3.
Gegeben sind drei Punkte im Raum
\(A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right|} \right),\,\,\,\,\,B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right),\,\,\,\,\,C\left( {{C_x}\left| {{C_y}\left| {{C_z}} \right.} \right.} \right)\)
für deren Schwerpunkt gilt
\(\overrightarrow {OS} = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\(S = \dfrac{1}{3}\left( {A + B + C} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x} + {B_x} + {C_x}}\\ {{A_y} + {B_y} + {C_y}}\\ {{A_z} + {B_z} + {C_z}} \end{array}} \right)\)
\({S_{ABC}} = \left( {\dfrac{{{A_x} + {B_x} + {C_x}}}{3}\left| {\dfrac{{{A_y} + {B_y} + {C_y}}}{3}\left| {\dfrac{{{A_z} + {B_z} + {C_z}}}{3}} \right.} \right.} \right) \)
Flächeninhalt des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogramms
Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.
\(\begin{array}{l} A = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|\\ A = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}&{{b_x}}\\ {{a_y}}&{{b_y}} \end{array}} \right)} \right| = \left| {{a_x} \cdot {b_y} - {b_x} \cdot {a_y}} \right| \end{array}\)
Flächeninhalt des von 2 Vektoren aufgespannten Dreiecks
Die Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Dreiecks entspricht dem halben Betrag vom Kreuzprodukt der beiden Vektoren. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf die von den beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Fläche des aufgespannten Dreiecks ist genau die Hälfte der Fläche vom aufgespannten Parallelogramm.
\(\begin{array}{l} {A_\Delta } = \dfrac{1}{2} \cdot \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|\\ {A_\Delta } = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}&{{b_x}}\\ {{a_y}}&{{b_y}} \end{array}} \right)} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {{a_x} \cdot {b_y} - {b_x} \cdot {a_y}} \right| \end{array}\)
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Aufgaben
Aufgabe 1393
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektoren
Gegeben ist der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right)\)
- Aussage 1: \(\overrightarrow {{b_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 1}\\ 1 \end{array}} \right)\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {{b_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ { - 5} \end{array}} \right)\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow {{b_3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 5\\ { - 3} \end{array}} \right)\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow {{b_4}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0\\ 1 \end{array}} \right)\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow {{b_5}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 0 \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche(r) der oben stehenden Vektoren \(\overrightarrow {{b_1}} \) ... \(\overrightarrow {{b_5}}\) steht/stehen normal auf den Vektor \(\overrightarrow a\) ? Kreuzen Sie den / die zutreffende(n) Vektor(en) an!
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Aufgabe 1132
AHS - 1_132 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gerade in Parameterform
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung \(3x - 4y = 12\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung von g in Parameterform an!
Aufgabe 1514
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geradengleichung
Die Gerade g ist durch eine Parameterdarstellung \(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 6 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\) gegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie mögliche Werte der Parameter a und b so an, dass die durch die Gleichung \(a \cdot x + b \cdot y = 1\) gegebene Gerade h normal zur Geraden g ist!
Aufgabe 1465
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichung einer Geraden
In der nachstehenden Abbildung sind eine Gerade g durch die Punkte P und Q sowie der Punkt A dargestellt.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch A verlauft und normal zu g ist!
Aufgabe 1217
AHS - 1_217 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektor aufstellen
Der gegebene Pfeil veranschaulicht einen Vektor \(\overrightarrow a\). Der zugrunde gelegte Raster legt dabei die Einheit fest.
Aufgabenstellung
Geben Sie die Koordinaten eines Vektors \(\overrightarrow b\) an,der auf \(\overrightarrow a\) normal steht und gleich lang ist!
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Aufgabe 1417
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vektoren
Gegeben sind zwei Vektoren \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)\) und \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ { - 4} \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie die unbekannte Koordinate b1 so, dass die beiden Vektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) normal aufeinander stehen!
Aufgabe 1441
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektor
Gegeben sind die beiden Punkte \(A = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)und \(B = \left( {3\left| { - 1} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen Vektor \(\overrightarrow n\) an, der auf den Vektor \(\overrightarrow {AB}\) normal steht!
Aufgabe 1298
AHS - 1_298 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektoren
Gegeben sind die beiden Vektoren \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 1} \end{array}} \right)\)und \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {2x} \end{array}} \right)\)im \({{\Bbb R}^2}{\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Unbekannte x so, dass die beiden Vektoren a und b normal aufeinander stehen!
Aufgabe 1156
AHS - 1_156 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lagebeziehung zweier Geraden
Gegeben sind die Geraden \(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(h:x - 2 \cdot y = - 1\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die Geraden g und h _____1______ , weil __________2_________ .
| 1 | |
| sind parallel | A |
| sind ident | B |
| stehen normal aufeinander | C |
| 2 | |
| der Richtungsvektor von g zum Normalvektor von h parallel ist | I |
| die Richtungsvektoren der beiden Geraden g und h parallel sind | II |
| der Punkt P = (1|1) auf beiden Geraden g und h liegt | III |
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Aufgabe 1466
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektoren
Gegeben ist der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 2 \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinate zb des Vektors \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2\\ {{z_b}} \end{array}} \right)\) so, dass \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) aufeinander normal stehen!
Aufgabe 1345
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallele Geraden
Gegeben sind Gleichungen der Geraden g und h. Die beiden Geraden sind nicht ident.
\(\begin{array}{l} g:y = - \dfrac{x}{4} + 8\\ h:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1} \end{array}} \right) {\text{mit s}} \in {\Bbb R} \end{array} \)
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum diese beiden Geraden parallel zueinander liegen!
Aufgabe 1618
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rechter Winkel
Gegeben ist eine Strecke \(AB{\text{ im }}{{\Bbb R}^2}{\text{ mit }}A = \left( {3\left| 4 \right.} \right){\text{ und }}B = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen möglichen Vektor \(\overrightarrow n \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow n \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\)