Aufgabe 109
Quadrat mittels Vektorrechnung berechnen
Gegeben sei ein Quadrat mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Überlege, wie viele Quadrate es geben kann
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von C und D
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir bilden zunächst den Verbindungsvektor und können dann gemäß der Links bzw. Rechts Kipp Regel 2 Quadrate bilden
Überlege, wie viele Quadrate es geben kann
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\)
Gemäß der „Spitze minus Schaft Regel“ gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right);\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \left( { - 2} \right)}\\ {4 - \left( { - 2} \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 6 \end{array}} \right);\)
Es gibt 2 Lösungen, gemäß Links- bzw. Rechts-Kipp-Regel;
Gemäß der „Links bzw. Rechts Kipp Regel“ gilt:
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {a_y}}\\ {{a_x}} \end{array}} \right);\)
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow n _{{\rm{rechts}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_y}}\\ { - {a_x}} \end{array}} \right);\)
\(\overrightarrow {BC} \bot \overrightarrow {AB} :\)
\(\overrightarrow {BC} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 5 \end{array}} \right)_{links}}{\rm{oder }}\overrightarrow {BC} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 5} \end{array}} \right)_{rechts}}\)
2. Teilaufgabe:
Berechne die Koordinaten von C und D
Gemäß der „Append Regel“ bzw. gemäß der „Punkt Vektor Form“ ermitteln wir anschließend die fehlenden Koordinaten der Punkte C und D.
Gemäß der „Append Regel“ bzw. der „Punkt-Vektor Form“ gilt:
\(Q = P + \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right);\)
Es gibt daher auch 2 Lösungen für C …
\(\begin{array}{l} {C_{links}} = B + \overrightarrow {BC} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 5 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 6}\\ {4 + 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 9 \end{array}} \right);\\ {C_{rechts}} = B + \overrightarrow {BC} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 6}\\ {4 - 5} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right); \end{array}\)
… und natürlich gibt es auch 2 Lösungen für D…
\(\begin{array}{l} {D_{links}} = {C_l} - \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 9 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 6 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 - 5}\\ {9 - 6} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8}\\ 3 \end{array}} \right);\\ {D_{rechts}} = {C_r} - \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 6 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {9 - 5}\\ { - 1 - 6} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 7} \end{array}} \right); \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: Es gibt 2 unterschiedliche Quadrate
- Für die 2. Teilaufgabe: \(\begin{array}{l} {C_{links}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 9 \end{array}} \right){\rm{ und }}{D_{links}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8}\\ 3 \end{array}} \right);\\ {C_{rechts}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right){\rm{ und }}{D_{rechts}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 7} \end{array}} \right); \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt