Konfidenzintervall
Formel
Konfidenzintervall für Normal- bzw. Standardnormalverteilung
Bei der Ermittlung statistischer Parameter wie Mittelwert oder Standardabweichung prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen.
Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau \(\gamma\)) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert einer Zufallsgröße darin befindet. Typische Werte für das Konfidenzniveau liegen bei 90%, 95% oder bei 99%. Umgekehrt kann man die Frage nach dem erforderlichen Stichprobenumfang klären, wenn man ein konkretes Konfidenzintervall vorgibt.
Vereinfachte Merksätze:
- Größere Stichprobe ergibt ein schmäleres Konfidenzintervall (Hochrechnung bei Wahlen: höherer Auszählungsgrad → geringere Schwankungsbreite)
- Größere Sicherheit (höheres Konfidenzniveau = höherer Prozentsatz beim Konfidenzintervall) bedeutet breiteres Konfidenzintervall
- Je näher der Prozentsatz an der 50 % Grenze liegt, umso breiter wird das Konfidenzintervall. Das heißt je deutlicher Zustimmung bzw. Ablehnung sind, umso schmäler wird das Konfidenzintervall
Für diejenigen Werte p, in deren das \(\gamma\) Konfidenzintervall der Wert h liegt, gilt
\({p_{1,2}} = \left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
h | relative Häufigkeit in einer Stichprobe |
p | unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit |
\(\gamma\) | Konfidenz- / Vertrauensniveau |
n | Umfang der Stichprobe |
z | Ist aus der Tabelle der Standardnormalverteilung abzulesen
Für das 95%-Konfidenzintervall gilt beispielhaft: \(\eqalign{ & 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = 0,95 \cr & \Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975 \cr} \) Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung können wir ablesen: \(z\left( {0,975} \right) = 1,96\) |
Illustration zur Veranschaulichung:
Die Fläche unter der gaußschen Glockenkurve und zwischen den Intervallgrenzen p1 bzw. p2 errechnet sich zu \(2\Phi \left( z \right) - 1 = \gamma \).
Das zugehörige z kann man auf 2 Arten aus den entsprechenden Tabellen ermitteln:
- man geht mit dem Wert \(\Phi \left( z \right) = \dfrac{{\gamma + 1}}{2}\) in eine \(\Phi \left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
- man geht mit dem Wert \(D\left( z \right) = \gamma \) in eine \(D\left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
α von 5 % bzw. z(0,975)=1,96 bedeutet, dass das Intervall den gesuchten Wert der Grundgesamtheit mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält.
Zweiseitiges (1 – α)-Konfidenz- /Schwankungsintervall für einen Einzelwert einer normalverteilten Zufallsvariablen
\(\left[ {\mu - {z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \sigma ;\,\,\,\,\,\mu + {z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \sigma } \right]\)
Zweiseitiges (1 – α)-Konfidenz- /Schwankungsintervall für den Stichprobenmittelwert normalverteilter Werte
\(\left[ {\mu - {z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }};\,\,\,\,\,\mu + {z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \sigma \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }}} \right]\)
Zweiseitiges (1– α)-Konfidenz- /Schwankungsintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei bekanntem σ und bekanntem Mittelwert der Zufallsstichprobe
\(\left[ {\overline x - {z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }};\,\,\,\,\,\overline x + {z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }}} \right]\)
\(\overline x\) | Stichprobenmittelwert |
\({s_{\overline x }} = {s_{n - 1}}\) | Standardabweichung einer Stichprobe |
n | Stichprobenumfang |
\({z_{1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}}\) |
\(\left( {1 - \dfrac{\alpha }{2}} \right)\)- Quantil der Standardnormalverteilung, wobei: \(\begin{array}{l} P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 90\% \to z = 1,654\\ P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 95\% \to z = 1,960\\ P\left( { - z \le Z \le z} \right) = 99\% \to z = 2,576 \end{array}\) |
Konfidenzintervall für die studentsche t-Verteilung
Wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit unbekannt ist, man aber die Standardabweichung s der Stichprobe kennt und man nur einen kleinen Stichprobenumfang hat, benützt man anstelle der Normalverteilung die (studentsche) t-Verteilung.
Die Grundgesamtheit muss dabei (annähernd) normalverteilt sein. Die t-Verteilung hat ein glockenförmiges Aussehen, die Fläche unter der Glocke ist 1 und sie ist symmetrisch um Null. Median, Modus und Mittelwert sind null.
- Der 1. Parameter der t-Verteilung ist deren Freiheitsgrad f, der sich zu f=n-1 ergibt.
- Stichprobenumfang n=8 → f=8-1=7
- Der 2. Parameter ergibt sich gemäß \(\left( {1 - \dfrac{\alpha }{2}} \right)\)
- zweiseitiger 95% Vertrauensbereich: \(\alpha = 5\% \overset{\wedge}\to{=} 0,05 \to 1 - \frac{{0,05}}{2} = 0,975\)
Mit den beiden Werten geht geht man in die t-Tabelle und liest wie folgt ab: \({t_{7;0,975}} \approx 2,3646{\text{ }}\)
Zweiseitiges (1– α)- Konfidenz- /Schwankungsintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei unbekanntem σ
\(\left[ {\overline x - {t_{f;\,\,1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{{s_{n - 1}}}}{{\sqrt n }};\,\,\,\,\,\overline x + {t_{f;\,\,1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{{s_{n - 1}}}}{{\sqrt n }}} \right]\)
mit
\({t_{f;\,\,\,1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}}\) | \(\left( {1 - \dfrac{\alpha }{2}} \right)\)- Quantil der t-Verteilung mit f Freiheitsgraden |
α von 5 % (bei der Normalverteilung: z(0,975)=1,96) bedeutet, dass das Intervall den gesuchten Wert der Grundgesamtheit mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält. \({\dfrac{\alpha }{2}}\buildrel \wedge \over =2,5% \) der Werte liegen links vom Intervall und \({\dfrac{\alpha }{2}}\buildrel \wedge \over =2,5% \) der Werte liegen rechts vom Intervall.
Die Berechnung des Konfidenzintervalls kann z.B. mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra erfolgen:
Wahrscheinlichkeitsrechner
- Statistik
- T-Schätzung eines Mittelwerts
- Eingabe von 4 Werten erforderlich:
- Konfidenzniveau:
- Mittelwert der Stichprobe:
- Standardabweichung s der Stichprobe:
- Größe n der Stichprobe
- Eingabe von 4 Werten erforderlich:
- T-Schätzung eines Mittelwerts
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Schließende Statistik | Die schließende Statistik ermöglicht es von einer (kleinen) Stichprobe auf die (große) Grundgesamtheit G zu schließen. Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge, die der Grundgesamtheit zufällig entnommen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wertet die Ergebnisse von Zufallsexperimenten aus. |
Aktuelle Lerneinheit
Konfidenzintervall | Bei der Ermittlung statistischer Parameter prüft man selten alle möglichen Ergebnisse, sondern man beschränkt sich auf eine Stichprobe. Dadurch ist die Messung aber Ungenauigkeiten unterworfen. Konfidenzintervalle definieren einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Standardnormalverteilung | Unter der Standardnormalverteilung versteht man die mit μ=0 und σ=1 standardisierte Normalverteilung. Mit Hilfe der z-Transformation rechnet man beliebige Erwartungswerte bzw. Standardabweichungen auf die Standardnormalverteilung um. |
Gleichverteilung - Disparität - Konzentration | Von Gleichverteilung spricht man, wenn jeder Merkmalsträger den gleichen Anteil an der Merkmalssumme auf sich vereint. |
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung | Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Ereignis (zB ein Produktfehler) nach weiteren t Minuten eintritt, nachdem man schon s Minuten gewartet hat. Man spricht auch von der "Nichtalterungseigenschaft". |
Exponentialverteilung | Die Exponetialfunktion wird zur Modellierung von der Zeit zwischen 2 Ereignissen oder der Lebensdauer von Bauteilen verwendet. |
Rechteckverteilung | Die Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist eine stetige Gleichverteilung, bei der jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. |
Normalverteilung | Die Normalverteilung, auch gaußsche-Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. |
Hypergeometrische Verteilung | Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Verteilung. Die Grundgesamtheit vermindert sich aber bei jeder Wiederholungen, denn es handelt sich um ein „Ziehen ohne Zurücklegen“. |
Poissonverteilung | Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung wenn n sehr groß (größer 100) ist, verbunden mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit die gegen Null konvergiert |
Bernoulli-Verteilung | Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1. |
Histogramm der Häufigkeitsverteilung | Histogramme schauen ähnlich aus wie Balkendiagramme - man benötigt zu deren grafischer Darstellung die jeweilige Balkenbreite (Klassenbreite) und die Balkenhöhe (=relativer / prozentueller Anteil der Messwerte) |
Stetige Zufallsvariable | Man spricht von einer stetigen Zufallsvariablen, wenn die Anzahl der Ergebnisse des Zufallsexperiments unendlich, also nicht abzählbar, ist. |
Diskrete Zufallsvariable | Für diskrete Zufallsvariablen ist die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments endlich, also abzählbar. Sie wird durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. |
Zufallsvariable | Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis ω vom Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl x zu. |
Einstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten | Ein Zufallsexperiment ist ein grundsätzlich beliebig oft wiederholbarer "Versuch", welcher unter identischen Bedingungen zu 2 oder mehreren nicht vorhersagbaren Ergebnissen führt. Wir unterscheiden zwischen Bernoulli und Laplace Experiment. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1685
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Telefonumfrage
Bei einer repräsentativen Telefonumfrage mit 400 zufällig ausgewählten Personen erhält man für den relativen Anteil der Befürworter/innen von kürzeren Sommerferien den Wert 20 %.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass das Intervall [16,0 %; 24,0 %] ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil p der Befürworter/innen in der gesamten Bevölkerung sein kann (wobei die Intervallgrenzen des Konfidenzintervalls gerundete Werte sind)!
Aufgabe 4402
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bitterfelder Bogen - Aufgabe B_477
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichtsplattform.
Teil d
Ein Läufer verwendet den Fußweg zur Aussichtsplattform als Trainingsstrecke. Mithilfe eines Brustgurts misst er seine Herzfrequenz. Diese wird an seine Pulsuhr mit einer Sendefrequenz von 5 Kilohertz (kHz) übermittelt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in der nachstehenden logarithmischen Skala die Sendefrequenz des Brustgurts ein.
[1 Punkt]
Der Läufer hat wiederholt seinen Maximalpuls (in Herzschlägen pro Minute) gemessen:
182 | 192 | 183 | 185 | 189 | 185 | 179 | 189 | 192 |
Der Maximalpuls des Läufers kann als annähernd normalverteilt angenommen werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert des Maximalpulses.
[1 Punkt]
Aufgabe 1613
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sicherheit eines Konfidenzintervalls
Die Abfüllanlagen eines Betriebes müssen in bestimmten Zeitabstanden überprüft und eventuell neu eingestellt werden. Nach der Einstellung einer Abfüllanlage sind von 1 000 überprüften Packungen 30 nicht ordnungsgemäß gefüllt. Für den unbekannten relativen Anteil p der nicht ordnungsgemäß gefüllten Packungen wird vom Betrieb das symmetrische Konfidenzintervall [0,02; 0,04] angegeben.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie unter Verwendung einer die Binomialverteilung approximierenden Normalverteilung die Sicherheit dieses Konfidenzintervalls!
Aufgabe 1308
AHS - 1_308 & Lehrstoff: WS 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Linkshänder
Bei einer Umfrage in einem Bezirk werden 500 Personen befragt, ob sie Linkshänder sind. Als Ergebnis der Befragung wird das 95-%-Konfidenzintervall [0,09; 0,15] für den Anteil der Linkshänder in der Bezirkszeitung bekanntgegeben.
- Aussage 1: Ungefähr 60 Personen haben angegeben, Linkshänder zu sein.
- Aussage 2: Hätte man 10 000 Personen befragt, wäre das 95-%-Konfidenzintervall schmäler geworden.
- Aussage 3: Das Konfidenzintervall wäre breiter, wenn der Anteil der Linkshänder in der Umfrage kleiner gewesen wäre.
- Aussage 4: Der Anteil der Linkshänder im gesamten Bezirk liegt jedenfalls zwischen 9 % und 15 %.
- Aussage 5: Das entsprechende 99-%-Konfidenzintervall ist breiter als das 95-%-Konfidenzintervall.
Aufgabenstellung
Welche der nachstehenden Aussagen können Sie aufgrund dieses Ergebnisses tätigen? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1470
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich zweier Konfidenzintervalle
Auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe der Größe n1 gibt ein Meinungsforschungsinstitut für den aktuellen Stimmenanteil einer politischen Partei das Konfidenzintervall [0,23; 0,29] an. Das zugehörige Konfidenzniveau (die zugehörige Sicherheit) beträgt γ1. Ein anderes Institut befragt n2 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte und gibt als entsprechendes Konfidenzintervall mit dem Konfidenzniveau (der zugehörigen Sicherheit) γ2 das Intervall [0,24; 0,28] an. Dabei verwenden beide Institute dieselbe Berechnungsmethode.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
- Unter der Annahme von n1 = n2 kann man aus den Angaben ___1___ folgern;
- Unter der Annahme von γ1 = γ2 kann man aus den Angaben ___2___ folgern.
1 | |
\({\gamma _1} < {\gamma _2}\) | A |
\({\gamma _1} = {\gamma _2}\) | B |
\({\gamma _1} > {\gamma _2}\) | C |
2 | |
\({n_1} < {n_2}\) | I |
\({n_1} = {n_2}\) | II |
\({n_1} > {n_2}\) | III |
Aufgabe 4432
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flughafen - Aufgabe B_506
Teil b
Der Kerosinverbrauch eines bestimmten Flugzeugs auf einer bestimmten Strecke kann als annähernd normalverteilt angenommen werden. Der Erwartungswert betragt μ = 845 L/100 km und die Standardabweichung beträgt σ = 25 L/100 km.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem der Kerosinverbrauch mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[0 / 1 P.]
Nach Reparaturarbeiten soll der Erwartungswert des Kerosinverbrauchs mithilfe eines Konfidenzintervalls neu geschätzt werden. Dabei wird angenommen, dass die Standardabweichung gleich geblieben ist. Nach den Reparaturarbeiten wurde der Kerosinverbrauch in L/100 km von einer Zufallsstichprobe von 10 Flügen auf dieser Strecke gemessen:
844 | 840 | 864 | 820 | 788 | 858 | 832 | 817 | 839 | 796 |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie das zweiseitige 99-%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Kerosinverbrauchs nach den Reparaturarbeiten.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4402
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bitterfelder Bogen - Aufgabe B_477
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichtsplattform.
Teil d
Ein Läufer verwendet den Fußweg zur Aussichtsplattform als Trainingsstrecke. Mithilfe eines Brustgurts misst er seine Herzfrequenz. Diese wird an seine Pulsuhr mit einer Sendefrequenz von 5 Kilohertz (kHz) übermittelt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in der nachstehenden logarithmischen Skala die Sendefrequenz des Brustgurts ein.
[1 Punkt]
Der Läufer hat wiederholt seinen Maximalpuls (in Herzschlägen pro Minute) gemessen:
182 | 192 | 183 | 185 | 189 | 185 | 179 | 189 | 192 |
Der Maximalpuls des Läufers kann als annähernd normalverteilt angenommen werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert des Maximalpulses.
[1 Punkt]