Aufgabe 1685
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Telefonumfrage
Bei einer repräsentativen Telefonumfrage mit 400 zufällig ausgewählten Personen erhält man für den relativen Anteil der Befürworter/innen von kürzeren Sommerferien den Wert 20 %.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass das Intervall [16,0 %; 24,0 %] ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil p der Befürworter/innen in der gesamten Bevölkerung sein kann (wobei die Intervallgrenzen des Konfidenzintervalls gerundete Werte sind)!
Lösungsweg
Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau \(\gamma \)) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert einer Zufallsgröße darin befindet. Typische Werte für das Konfidenzniveau liegen bei 90%, 95% oder bei 99%.
Für diejenigen Werte p, in deren das γ Konfidenzintervall für den Wert h liegt, gilt
\({p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} \)
Aus der Angabe entnehmen wir:
- n=400 … Umfang der Stichprobe
- h=0,2 … relative Häufigkeit in der Stichprobe
Für das 95% Konfidenzintervall sollte man z=1,96 auswendig wissen, man kann es aber auch wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = 0,95\\ \Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975 \end{array}\)
Aus der Tabelle für die Standardnormalverteilung können wir für das 95% Konfidenzintervall wie folgt ablesen:
z(0,975)=1,96
Wir setzen in die obige Formel ein und erhalten die beiden Intervallgrenzen zu:
\(\begin{array}{l} {p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} \\ {p_{1,2}} = 0,2 \pm 1,96 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,2 \cdot \left( {1 - 0,2} \right)}}{{400}}} = 0,2 \pm 0,0392\\ {p_1} = 0,1608 \approx 0,16 \buildrel \wedge \over = 16\% \\ {P_2} = 0,2392 \approx 0,24 \buildrel \wedge \over = 24\% \end{array}\)
→Das Intervall [16 %; 24 %] ist daher ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil p der Befürworter/innen in der gesamten Bevölkerung.
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Das Intervall [16 %; 24 %] ist daher ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den relativen Anteil p der Befürworter/innen in der gesamten Bevölkerung. Der rechnerische Nachweis lautet:
\({p_{1,2}} = 0,2 \pm 1,96 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,2 \cdot \left( {1 - 0,2} \right)}}{{400}}} = 0,2 \pm 0,0392\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten rechnerischen Nachweis. Andere korrekte rechnerische Nachweise sind ebenfalls als richtig zu werten.