Aufgabe 4402

1. Teilaufgabe:

5 kHz entspricht 5000 Hz.

Bild

2. Teilaufgabe:

Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau γ) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert einer Zufallsgröße darin befindet. Typische Werte für das Konfidenzniveau liegen bei 90%, 95% oder bei 99%.

Wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit unbekannt ist, man aber die Standardabweichung s der Stichprobe kennt und man einem kleinen Stichprobenumfang hat, benützt man anstelle der Normalverteilung die (studentsche) t-Verteilung.  

Die Grundgesamtheit muss dabei (annähernd) normalverteilt sein. Die t-Verteilung hat ein glockenförmiges Aussehen, die Fläche unter der Glocke ist 1 und sie ist symmetrisch um Null. Median, Modus und Mittelwert sind null. Einer ihrer Parameter ist der Freiheitsgrad f, der von der Größe der Stichprobe abhängt.

Zweiseitiges (1– α)- Konfidenz- /Schwankungsintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei unbekanntem σ
\(\left[ {\overline x - {t_{f;1 - \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{{s_{n - 1}}}}{{\sqrt n }};\overline x + {t_{f;1 - \dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{{s_{n - 1}}}}{{\sqrt n }}} \right]\)

α von 5 % bzw. z(0,975)=1,96 bedeutet, dass das Intervall den gesuchten Wert der Grundgesamtheit mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält.

Wir stellen die 4 Werte, die wir zur Berechnung brauchen wie folgt zusammen:

Konvidenzniveau:
\(\gamma = 0,95\)

Stichprobenumfang:
\(n = 9 \)

Mittelwert der Stichprobe:
\(\overline x = \dfrac{{182 + 192 + 183 + 185 + 189 + 185 + 179 + 189 + 192}}{9} = \dfrac{{1676}}{9}\)

Standardabweichung der Stichprobe:
\(s = \sqrt {\dfrac{{\sum {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} }}{{n - 1}}} \approx 4,549\)

Geogebra:
StichprobenStandardabweichung[{182,192, 183, 185, 189, 185, 179, 189, 192}]=4,549

Wir berechnen den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich mit Hilfe der t-Verteilung durch Technologieeinsatz wie folgt:

Geogebra:

Wahrscheinlichkeitsrechner

• Statistik
  • T-Schätzung eines Mittelwerts
    • Eingabe:
      • Konfidenzniveau:0,95
      • Mittelwert der Stichprobe: 1676/9
      • s: 4,549
      • N: 9

Liefert das Intervall:
\(\left[ {186,2222 \pm 3,4967} \right] \to \left[ {182,7255;\,189,7189} \right]\)

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube