Zusammenhang Stichprobenumfang mit Konfidenzniveau

Illustration zur Veranschaulichung:

Die Fläche unter der gaußschen Glockenkurve und zwischen den Intervallgrenzen p₁ bzw. p₂ errechnet sich zu \(2\Phi \left( z \right) - 1 = \gamma \).

Das zugehörige z kann man auf 2 Arten aus den entsprechenden Tabellen ermitteln:

• man geht mit dem Wert \(\Phi \left( z \right) = \dfrac{{\gamma + 1}}{2}\) in eine \(\Phi \left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
• man geht mit dem Wert \(D\left( z \right) = \gamma \) in eine \(D\left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab

α von 5 % bzw. z(0,975)=1,96 bedeutet, dass das Intervall den gesuchten Wert der Grundgesamtheit mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält.

Konfidenzintervall für die studentsche t-Verteilung

Wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit unbekannt ist, man aber die Standardabweichung s der Stichprobe kennt und man nur  einen kleinen Stichprobenumfang hat, benützt man anstelle der Normalverteilung die (studentsche) t-Verteilung.  

Die Grundgesamtheit muss dabei (annähernd) normalverteilt sein. Die t-Verteilung hat ein glockenförmiges Aussehen, die Fläche unter der Glocke ist 1 und sie ist symmetrisch um Null. Median, Modus und Mittelwert sind null.

• Der 1. Parameter der t-Verteilung ist deren Freiheitsgrad f, der sich zu f=n-1 ergibt.
  • Stichprobenumfang n=8 → f=8-1=7
• Der 2. Parameter ergibt sich gemäß \(\left( {1 - \dfrac{\alpha }{2}} \right)\)
  • zweiseitiger 95% Vertrauensbereich: \(\alpha = 5\% \overset{\wedge}\to{=} 0,05 \to 1 - \frac{{0,05}}{2} = 0,975\)

Mit den beiden Werten geht geht man in die t-Tabelle und liest wie folgt ab: \({t_{7;0,975}} \approx 2,3646{\text{ }}\)

Zweiseitiges (1– α)- Konfidenz- /Schwankungsintervall für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariablen bei unbekanntem σ

\(\left[ {\overline x - {t_{f;\,\,1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{{s_{n - 1}}}}{{\sqrt n }};\,\,\,\,\,\overline x + {t_{f;\,\,1\, - \,\dfrac{\alpha }{2}}} \cdot \dfrac{{{s_{n - 1}}}}{{\sqrt n }}} \right]\)

mit

α von 5 % (bei der Normalverteilung: z(0,975)=1,96) bedeutet, dass das Intervall den gesuchten Wert der Grundgesamtheit mit 95 % Wahrscheinlichkeit enthält. \({\dfrac{\alpha }{2}}\buildrel \wedge \over =2,5% \) der Werte liegen links vom Intervall und \({\dfrac{\alpha }{2}}\buildrel \wedge \over =2,5% \) der Werte liegen rechts vom Intervall.

Die Berechnung des Konfidenzintervalls kann z.B. mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner von GeoGebra erfolgen:

Wahrscheinlichkeitsrechner

• Statistik
  • T-Schätzung eines Mittelwerts
    • Eingabe von 4 Werten erforderlich:
      • Konfidenzniveau: 
      • Mittelwert der Stichprobe: 
      • Standardabweichung s der Stichprobe: 
      • Größe n der Stichprobe