Österreichische AHS Matura - AN 3.1 .. AN 3.3: Ableitungsfunktionen / Stammfunktionen
Aufgabe 1527
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion und F eine ihrer Stammfunktionen.
- Aussage 1: Eine Funktion F heißt Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt: \(f(x) = F(x) + c\,\,(c \in {\Bbb R})\).
- Aussage 2: Eine Funktion f′ heißt Ableitungsfunktion von f, wenn gilt: \(\int {f(x)dx} = f'(x)\).
- Aussage 3: Wenn die Funktion f an der Stelle x0 definiert ist, gibt \(f'({x_0})\) die Steigung der Tangente an den Graphen von f an dieser Stelle an.
- Aussage 4: Die Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden.
- Aussage:5: Wenn man die Stammfunktion F einmal integriert, dann erhält man die Funktion f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1550
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tiefe eines Gerinnes
Zur Vorbeugung vor Hochwassern wurde in einer Stadt ein Gerinne (Wasserlauf) angelegt. Die Funktion f beschreibt die Wassertiefe dieses Gerinnes bei einer Hochwasserentwicklung in Abhängigkeit von der Zeit t an einer bestimmten Messstelle für das Zeitintervall [0; 2]. Die Gleichung der Funktion f lautet \(f\left( t \right) = {t^3} + 6 \cdot {t^2} + 12 \cdot t + 8\,\,\,mit\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\)Dabei wird f(t) in dm und t in Tagen gemessen.
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Gleichung der Funktion g an, die die momentane Änderungsrate der Wassertiefe des Gerinnes (in dm pro Tag) in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt!
g(t) =
Aufgabe 1629
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beziehungen zwischen Funktion, Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f ′ ihre Ableitungsfunktion und F eine der Stammfunktionen von f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die zweite Ableitungsfunktion der Funktion ____1____ ist die Funktion ____2____ .
1 | |
f | A |
f' | B |
F | C |
2 | |
f | I |
f' | II |
F | III |
Aufgabe 1383
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph einer Ableitungsfunktion
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades, die den Wendepunkt W besitzt.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ in das Koordinatensystem!
Aufgabe 1406
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion
In der folgenden Abbildung ist der Graph einer Polynomfunktion f dargestellt:
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die erste Ableitung der Funktion f ist ___1___ , und daraus folgt: ___2___ .
1 | |
im Intervall [–1; 1] negativ | A |
im Intervall [–1; 1] gleich null | B |
im Intervall [–1; 1] positiv | C |
2 | |
f hat im Intervall [–1; 1] eine Nullstelle | I |
f ist im Intervall [–1; 1] streng monoton steigend | II |
f hat im Intervall [–1; 1] eine Wendestelle | III |
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Aufgabe 1431
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion einer konstanten Funktion
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer konstanten Funktion f dargestellt.
Aufgabenstellung
Der Graph einer Stammfunktion F von f verläuft durch den Punkt P = (1|1). Zeichnen Sie den Graphen der Stammfunktion F im nachstehenden Koordinatensystem ein!
Aufgabe 1455
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften der Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
- Aussage 1: Die Funktionswerte der Funktion f′ sind im Intervall (0; 2) negativ.
- Aussage 2: Die Funktion f′ ist im Intervall (–1; 0) streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 2 eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum.
- Aussage 5: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle.
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen treffen auf die Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1479
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionen und Ableitungsfunktionen
Nachfolgend sind die Graphen von vier Polynomfunktionen (f1, f2, f3, f4) abgebildet....
- Graph der Polynomfunktion f1:
- Graph der Polynomfunktion f2:
- Graph der Polynomfunktion f3:
- Graph der Polynomfunktion f4:
... ab hier folgen die Graphen von 6 weiteren Funktionen (g1, g2, g3, g4, g5, g6 ).
- A Graph der Ableitungsfunktion g1:
- B Graph der Ableitungsfunktion g2:
- C Graph der Ableitungsfunktion g3:
- D Graph der Ableitungsfunktion g4:
- E Graph der Ableitungsfunktion g5:
- F Graph der Ableitungsfunktion g6:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Polynomfunktionen f1 bis f4 ihre jeweilige Ableitungsfunktion aus den Funktionen g1 bis g6 (aus A bis F) zu!
Aufgabe 1503
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graphen von Ableitungsfunktionen
In den unten stehenden Abbildungen sind jeweils die Graphen der Funktionen f, g und h dargestellt.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
- Graph 6:
Aufgabenstellung:
In einer der sechs Abbildungen ist g die erste Ableitung von f und h die zweite Ableitung von f. Wählen Sie diese Abbildung aus!
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Aufgabe 1549
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grafisch differenzieren
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades f.
Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der gegebenen Grafik den Graphen der Ableitungsfunktion f′ im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) und markieren Sie gegebenenfalls die Nullstellen!
Aufgabe 1581
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
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Differenzieren einer Exponentialfunktion
Gegeben ist eine Funktion f mit \(f\left( x \right) = {e^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit }}\lambda \in {\Bbb R}\). Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f′.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Wert des Parameters \(\lambda\) an!
\(\lambda\) = ?
Aufgabe 1604
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhalt
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades und der Graph einer ihrer Stammfunktionen F dargestellt.
Aufgabenstellung:
Der Graph von f und die positive x-Achse begrenzen im Intervall [0; 4] ein endliches Flächenstück. Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks!