Aufgabe 1604
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhalt
In der nachstehenden Abbildung sind der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades und der Graph einer ihrer Stammfunktionen F dargestellt.
Aufgabenstellung:
Der Graph von f und die positive x-Achse begrenzen im Intervall [0; 4] ein endliches Flächenstück. Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks!
Lösungsweg
Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen \(\left[ {a,b} \right]\), entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze. Es errechnet sich aus dem Funktionswert der Stammfunktion an der oberen Grenze minus dem Funktionswert der Stammfunktion an der unteren Grenze. Wir ergänzen die Abbildung entsprechend:
Wir lassen uns nicht verunsichern vom Umstand, dass wir die Funktion selbst nicht gegeben haben und daher auch nicht deren Stammfunktion durch Integration bilden können. Das ist nämlich gar nicht erforderlich.
Die gesuchte Fläche ergibt sich gemäß \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)aus der Differenz F(4)-F(0), wobei wir die beiden Werte F(4)=7 und F(0)=1 aus der Grafik ablesen können:
F(4)-F(0)=7-1=6
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Flächeninhalt dieses Flächenstücks beträgt A=6 FE
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Maßeinheit „FE“ nicht angeführt sein muss.