Aufgabe 1550
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tiefe eines Gerinnes
Zur Vorbeugung vor Hochwassern wurde in einer Stadt ein Gerinne (Wasserlauf) angelegt. Die Funktion f beschreibt die Wassertiefe dieses Gerinnes bei einer Hochwasserentwicklung in Abhängigkeit von der Zeit t an einer bestimmten Messstelle für das Zeitintervall [0; 2]. Die Gleichung der Funktion f lautet \(f\left( t \right) = {t^3} + 6 \cdot {t^2} + 12 \cdot t + 8\,\,\,mit\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\)Dabei wird f(t) in dm und t in Tagen gemessen.
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Gleichung der Funktion g an, die die momentane Änderungsrate der Wassertiefe des Gerinnes (in dm pro Tag) in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt!
g(t) =
Lösungsweg
Für den Differentialquotient oder die momentane Änderungsrate oder die Steigung der Tangente gilt
\(y'\left( t \right) = \dfrac{{dy}}{{dt}} = k\)
Um die momentane Änderungsrate g(t) zu erhalten müssen wir den Differentialquotienten bzw. die 1. Ableitung f' der Funktion f(t) wie folgt bilden:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = {t^3} + 6 \cdot {t^2} + 12 \cdot t + 8 \cr & f'\left( t \right) = g\left( t \right) = 3 \cdot {t^2} + 6 \cdot 2 \cdot t + 12 = 3 \cdot {t^2} + 12 \cdot t + 12 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(g(t) = 3 \cdot {t^2} + 12 \cdot t + 12\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.