AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.1
Formel
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.1
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.1: Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Terme und Formeln aufstellen und umformen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen (=, <, >,…) bestehen. z.B.: \({\sin ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( \alpha \right)\)
- Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen, meistens in Form einer Gleichung. \(E = m \cdot {c^2}\). Alle Formen setzen sich aus Termen zusammen.
- Ein Term „umformen“ macht nur dann Sinn, wenn der Term dadurch „vereinfacht“ oder „zusammengefasst“ wird. \(x + x + 2x \to 4x{\text{ oder }}x \cdot x \cdot 2x \to 2{x^3}\)
- Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable allein auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
- Die Division einer Gleichung höheren Grades durch die Variable x ist keine (!) Äquivalenzumformung, weil man dabei eine der Lösungen verliert! Die Anzahl der Lösungen entspricht dabei immer dem höchsten Grad der Gleichung.
- Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt.
- Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
- Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
- Doppelbruch auflösen: \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\) Sprich: Außenglied mal Außenglied durch Innenglied mal Innenglied.
- Arithmetisches Mittel bzw. Durchschnitt: \(\bar x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {x_i}\) Sprich: Summe aller Einzelwerte durch die Anzahl der Einzelwerte.
- Achtung bei gemischten Brüchen: \(A\dfrac{b}{c} = A + \dfrac{b}{c}{\text{ aber }}A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\). Beispiel: \(2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{2} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{2}} \right) = 2 + \dfrac{1}{2} + 3 + \dfrac{1}{2} = 6\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1348 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1396 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1421 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1491 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1541 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1564 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1590 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1615 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1663 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1735 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1783 |
AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1831 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 11179 |
AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 11221 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 11245 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 11269 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
17 |
Aufgabe 11293 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
18 |
Aufgabe 11317 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG | Algebra und Geometrie sind einer der 5 Inhaltebereiche der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik an Österreichs AHS |
Aktuelle Lerneinheit
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.1 | Terme und Formeln aufstellen und Umformen |
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1396
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Praxisgemeinschaft
In einer Gemeinschaftspraxis teilen sich sechs Therapeutinnen und Therapeuten die anfallende Monatsmiete zu gleichen Teilen auf. Am Ende des Jahres verlassen Mitglieder die Praxisgemeinschaft. Daher muss der Mietanteil für die Verbleibenden um jeweils € 20 erhöht werden und betragt ab dem neuen Jahr nun monatlich € 60.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Stellen Sie anhand des gegebenen Textes eine Gleichung auf, mit der die Anzahl derjenigen Mitglieder, die die Praxisgemeinschaft verlassen, berechnet werden kann! Bezeichnen Sie dabei die Anzahl derjenigen Mitglieder, die die Praxisgemeinschaft verlassen, mit der Variablen x!
Aufgabe 1615
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Solaranlagen
Eine Gemeinde unterstützt den Neubau von Solaranlagen in h Haushalten mit jeweils p % der Anschaffungskosten, wobei das arithmetische Mittel der Anschaffungskosten für eine Solaranlage für einen Haushalt in dieser Gemeinde e Euro beträgt.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Interpretieren Sie den Term \(h \cdot e \cdot \dfrac{p}{{100}}\) im angegebenen Kontext.
Aufgabe 1491
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Treibstoffkosten
Der durchschnittliche Treibstoffverbrauch eines PKW beträgt y Liter pro 100 km Fahrtstrecke. Die Kosten für den Treibstoff betragen a Euro pro Liter.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie einen Term an, der die durchschnittlichen Treibstoffkosten K (in Euro) für eine Fahrtstrecke von x km beschreibt!
Aufgabe 1070
AHS - 1_070 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalenz von Formeln
Die nachstehende Abbildung zeigt ein Trapez:
- Aussage 1: \({A_1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 2: \({A_2} = b \cdot c + \dfrac{{\left( {a - c} \right) \cdot b}}{2}\)
- Aussage 3: \({A_3} = a \cdot b - 0,5 \cdot \left( {a - c} \right) \cdot b\)
- Aussage 4: \({A_4} = 0,5 \cdot a \cdot b - \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 5: \({A_5} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + b \cdot c\)
Aufgabenstellung:
Mit welchen der obenstehenden Formeln kann man die Fläche dieses Trapezes berechnen? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Formel(n) an!
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Aufgabe 1071
AHS - 1_071 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verkaufspreis
Für einen Laufmeter Stoff betragen die Selbstkosten S (in €), der Verkaufspreis ohne Mehrwertsteuer beträgt N (in €).
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel für den Verkaufspreis P (in €) inklusive 20 % Mehrwertsteuer an!
Aufgabe 1121
AHS - 1_121 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzen
Gegeben ist der Term \({\left( {{a^4} \cdot {b^{ - 5}} \cdot c} \right)^{ - 3}}\)
- Aussage 1: \(a \cdot {b^{ - 8}} \cdot {c^{ - 2}}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{{b^{15}}}}{{{a^{12}} \cdot {c^3}}}\)
- Aussage 3: \({\left( {\dfrac{{{b^8} \cdot {c^2}}}{a}} \right)^{ - 1}}\)
- Aussage 4: \({\left( {\dfrac{{{a^4} \cdot c}}{{{b^5}}}} \right)^{ - 1}}\)
- Aussage 5: \({a^{ - 12}} \cdot {b^{ 15}} \cdot {c^{ - 3}}\)
Aufgabenstellung:
Welche(r) der obenstehenden Terme ist/sind zum gegebenen Term äquivalent? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Antwort(en) an!
Aufgabe 1309
AHS - 1_309 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kegelstumpf
Ein 15 cm hohes Gefäß hat die Form eines geraden Kegelstumpfes. Der Radius am Boden hat eine Länge von 20 cm, der Radius mit der kleinsten Länge beträgt 11 cm.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel für die Länge r(h) in Abhängigkeit von der Höhe h an!
Aufgabe 1783
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkstoff
Ein bestimmtes Medikament wird in flüssiger Form eingenommen. Es beinhaltet pro Milliliter Flüssigkeit 30 Milligramm eines Wirkstoffs. Martin nimmt 85 Milliliter dieses Medikaments ein. Vom Wirkstoff gelangen 10 % in seinen Blutkreislauf.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie an, wie viel Milligramm dieses Wirkstoffs in Martins Blutkreislauf gelangen.
Es gelangen _____________ Milligramm des Wirkstoffs in Martins Blutkreislauf.
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Aufgabe 1831
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kleidungsstück
Am Ende des Jahres 2017 lag der Preis eines bestimmten Kleidungsstücks bei € 49,90. Damit war es um 17,8 % teurer als zu Beginn des Jahres 2017.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Berechnen Sie, um welchen Geldbetrag das Kleidungsstück im Laufe des Jahres 2017 teurer geworden ist.
Aufgabe 1663
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Darstellung von Zusammenhängen durch Gleichungen
Viele Zusammenhänge können in der Mathematik durch Gleichungen ausgedrückt werden.
- 1. Beschreibung: a ist halb so groß wie b
- 2. Beschreibung: b ist 2% von a
- 3. Beschreibung: a ist um 2% größer als b
- 4. Beschreibung: b ist um 2% kleiner als a
- Gleichung A: \(2 \cdot a = b\)
- Gleichung B: \(2 \cdot b = a\)
- Gleichung C: \(a = 1,02 \cdot b\)
- Gleichung D: \(b = 0,02 \cdot a\)
- Gleichung E: \(1,2 \cdot b = a\)
- Gleichung F: \(b = 0,98 \cdot a\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ordnen Sie den vier Beschreibungen eines möglichen Zusammenhangs zweier Zahlen a und b mit \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) jeweils die entsprechende Gleichung (aus A bis F) zu!
Aufgabe 11179
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 3. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Werte von Termen
Nachstehend sind fünf Terme mit a ∈ ℝ und a < 0 gegeben:
- Aussage 1: \(\dfrac{{a - 1}}{a}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{1 - 2 \cdot a}}{a}\)
- Aussage 3: \(\dfrac{a}{{1 - a}}\)
- Aussage 4: \({a^2} - 1\)
- Aussage 5: \( - a\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden Terme an, deren Wert auf jeden Fall positiv ist.
[2 aus 5]
Aufgabe 11221
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Museumsbesuche
Die Eintrittspreise eines bestimmten Museums sind folgendermaßen festgelegt: Der Eintrittspreis für einen Erwachsenen betragt x Euro. Für Studierende ist dieser Eintrittspreis um p % ermäßigt. Kinder und Jugendliche bezahlen nichts für den Eintritt.
An einem bestimmten Wochenende bezahlen E Personen den Eintrittspreis für Erwachsene und S Personen den Eintrittspreis für Studierende. Außerdem besuchen K Kinder und J Jugendliche an diesem Wochenende das Museum.
Die Gesamteinnahmen des Museums aus Eintritten an diesem Wochenende werden mit G bezeichnet.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Stellen Sie eine Formel zur Berechnung von G auf.
G =
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Nach der Prüfung in Ruhe entspannen