Aufgabe 1070
AHS - 1_070 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalenz von Formeln
Die nachstehende Abbildung zeigt ein Trapez:
- Aussage 1: \({A_1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 2: \({A_2} = b \cdot c + \dfrac{{\left( {a - c} \right) \cdot b}}{2}\)
- Aussage 3: \({A_3} = a \cdot b - 0,5 \cdot \left( {a - c} \right) \cdot b\)
- Aussage 4: \({A_4} = 0,5 \cdot a \cdot b - \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 5: \({A_5} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + b \cdot c\)
Aufgabenstellung:
Mit welchen der obenstehenden Formeln kann man die Fläche dieses Trapezes berechnen? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Formel(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Die Fläche für ein allgemeines Trapez errechnet sich wie folgt: \(A = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot b\)
Beim gegebenen Trapez nämlich gilt (ausnahmsweise): h=b
Lösungsweg
- Aussage 1: Richtig, weil \({A_1} = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = \dfrac{{\left( {a + b} \right)}}{2} \cdot b = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {a + c} \right) \cdot b\,\,\,\,\,wzbw\)
- Aussage 2: Richtig, weil \(\eqalign{ & {A_2} = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot b = \dfrac{{\left( {a \cdot b + c \cdot b} \right)}}{2} = \dfrac{{\left( {a \cdot b + b \cdot c} \right) + \left( {b \cdot c - b \cdot c} \right)}}{2} = \cr & = \dfrac{{a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c - b \cdot c}}{2} = \dfrac{{2 \cdot b \cdot c}}{2} + \dfrac{{a \cdot c - b \cdot c}}{2} = b \cdot c + \dfrac{{\left( {a - c} \right) \cdot b}}{2}\,\,\,wzbw. \cr} \)
- Aussage 3: Richtig, weil wir zunächst auf ein Rechteck ABCI gemäß \({A_{3,1}} = a \cdot b\) ergänzen können, vom dem wir dann das rechtwinkelige Dreieck DCI (grün beschriftet) \({A_{3,2}} = \dfrac{{\left( {a - c} \right) \cdot b}}{2} = 0,5 \cdot \left( {a - c} \right) \cdot b\) abziehen müssen, womit \({A_{3,1}} - {A_{3,2}} = a \cdot b - 0,5 \cdot \left( {a - c} \right) \cdot b\,\,\,\,\,wzbw.\)
- Aussage 4: Falsch, weil vom halben Rechteck - das entspricht genau der Fläche vom Dreieck ABC - noch „etwas“ abziehen würde…
- Aussage 5: Falsch, weil zum halben Rechteck - das entspricht genau der Fläche vom Dreieck ABC - noch die Fläche vom Rechteck ABHD dazu gegeben würde. Man kann nicht ausschließen, dass es einige wenige Kombination von a, b und c gibt, bei der sich das "zufällig genau" zur Fläche vom Trapez ausgeht, aber da a, b und c von einander unabhängige Variable sind, kann man das für alle Kombinationen von a, b und c ausschließen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.