Aufgabe 1309
AHS - 1_309 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kegelstumpf
Ein 15 cm hohes Gefäß hat die Form eines geraden Kegelstumpfes. Der Radius am Boden hat eine Länge von 20 cm, der Radius mit der kleinsten Länge beträgt 11 cm.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Formel für die Länge r(h) in Abhängigkeit von der Höhe h an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir sehen, dass es sich um die Gleichung folgender Geraden handeln muss: \(r\left( h \right) = k \cdot h + d\)
Lösungsweg
Wir entnehmen der Angabe wie folgt
\(\eqalign{ & r\left( {h = 0} \right) = 20 \cr & r\left( {h = 15} \right) = 11 \cr} \)
Wir kennen somit 2 Punkte der Geraden und tragen diese gemäß folgender Skizze in ein Koordinatensystem ein:
- Achtung: Entscheidend ist, dass in der Grafik der Angabe r(h) in horizontaler Richtung verläuft, in der Skizze die wir aber zur Herleitung der Geradengleichung \(r\left( h \right) = k \cdot h + d\) benötigen, verläuft r(h) in vertikaler Richtung. So wie y=f(x) immer vertikal verläuft...., nur dass es hier eben r(h) ist.
- Achtung: Nicht versuchen die gegebene Zeichnung in ein Koordinatensystem hineinzulegen, sondern ganz simpel die beiden ermittelten Punkte r(h=0) = 20 und r(h=15)=11 in das Koordinatensystem einzeichnen.
Dieser Skizze können wir nun entnehmen:
\(\eqalign{ & k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 9}}{{15}} = - \dfrac{9}{{15}} \cr & r(h = 0) = 20 = d \cr} \)
Somit können wir die Gleichung \(r\left( h \right) = k \cdot h + d\) und damit die richtige Lösung, wie folgt anschreiben:
\(r\left( h \right) = - \dfrac{9}{{15}} \cdot h + 20\)
Wir machen die Probe:
\(\eqalign{ & r\left( {h = 0} \right) = - \dfrac{9}{{15}} \cdot 0 + 20 = 20\,\,\,\,\,wzbw \cr & r\left( {h = 15} \right) = - \dfrac{9}{{15}} \cdot 15 + 20 = - 9 + 20 = 11\,\,\,\,\,wzbw \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(r\left( h \right) = - 0,6 \cdot h + 20 = - \dfrac{9}{{15}} \cdot h + 20\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn eine richtige Formel angegeben ist. Äquivalente Schreibweisen sind als richtig zu werten.