Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
Formel
Zeit t
Die Zeit ist eine die physikalische Basisgröße mit der Einheit Sekunde. Man unterscheidet zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft, wobei der Fortschritt in der Zeit nur in Richtung Zukunft aber nicht in Richtung Vergangenheit laufen muss. Uhren messen periodische Vorgänge. Eine Sekunde entspricht 9 192 632 770 Perioden der Strahlung des Überganges zwischen den beiden Hyperfeinstruktur-Niveaus des Grundzustandes von Atomen des ElementsCäsium-133. In der klassischen Physik sind diese periodischen Vorgänge gleichförmig. In der relativistischen Physik hängt der Gang der Uhren von der relativen Bewegung zwischen Beobachter und Uhr zueinander ab. Mit zunehmender Geschwindigkeit gehen Uhren, genauer gesagt vergeht die Zeit selbst langsamer und kommt bei Lichtgeschwindigkeit zum Stillstand. D.h. je weiter man sich der Lichtgeschwindigkeit annähert, um so weniger altert man. Dieser Effekt wird aber erst bei mehr als 90% der Lichtgeschwindigkeit signifikant.
Sekunde s - Zeiteinheit
Sekunde s ist die Basiseinheit der Zeit im internationalen Einheitensystem.
Zeiteinheiten umrechnen:
- 1 Erdenjahr: 1a = 365,24 d (astronomisches Jahr) bzw. 365 d (Kalenderjahr) bzw. 366 d (Schaltjahr)
- 1 Kalenderjahr: 1.1 bis 31.12
- 1 Geschäftsjahr: Zeitraum zwischen 2 aufeinander folgenden Bilanzstichtagen (z.B.: 1.10 - 30.9)
- 1 Jahr: 1a = 12m Monate
- 1 Monat: 1m = 28, 29, 30 bzw. 31d Tage bzw 4 Wochen
- 1 Woche: 1 Woche = 7d Tage
- 1 Tag: 1d = 24h Stunden
- 1 Stunde: 1h = 60min Minuten
- 1 Minute: 1m = 60s Sekunden
Schreibweisen:
- 3:40 min entspricht 3 Minuten und 40 Sekunden
- 3,40 min entspricht 3 Minuten und 24 Sekunden (60 x 0,4 = 24)
- 220 min entspricht 3,667 Minuten (220:60=3,667) bzw. 3:40 min (220-3*60=3min plus 40s) bzw. 3,667min= 3min plus 0,667min = 3min plus 0,667*60=40s)
Weg s
Der Weg s gibt an, wie weit 2 Punkte entlang einer gegebenen Bahn voneinander entfernt sind.
s=s(t)
Die Einheit vom Weg bzw. von der Länge ist das Meter. Ursprünglich war das Pariser Urmeter die Basis der Längenmessung. Heute ist das Meter über die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (das ist eine Naturkonstante) definiert, die auf exakt 299 792 458 m/s festgelegt wurde. Ein Meter ist somit jene Länge / jener Weg, den das Licht im Vakuum in einem 299 792 458-stel Bruchteil von einer Sekunde zurücklegt.
Meter m - Längeneinheit
Meter m ist die Basiseinheit der Länge im internationalen Einheitensystem.
Längeneinheiten umrechnen:
- Kilometer: 1.000m = 1 km
- Dezimeter: 10dm = 1m; 10cm=1dm
- Zentimeter: 100cm = 1m; 10mm=1cm
- Millimeter: 1.000mm = 1m;
Auch das Lichtjahr ist eine Längeneinheit, denn es entspricht der Strecke von \(9,461 \cdot {10^{12}}{\text{km}}\), welche das Licht im Vakuum innerhalb eines Jahres zurücklegt. Die zu unserer Sonne nächstgelegene Sonnensystem namens Alpha Centauri liegt 4,246 Lichtjahre, das sind \(4,246 \cdot 9,461 \cdot {10^{12}}{\text{km}}\) entfernt.
Geschwindigkeit v
Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper gegenüber einem Bezugssystem bewegt. Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe, d.h. sie hat einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung. Etwa wie schnell sich ein Zug auf einem Gleis von Westen nach Osten gegenüber dem Bahnhof bewegt.
\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( t \right) = {\overrightarrow s ^\prime }\left( t \right)\)
Wird in gleichen aufeinander folgenden Zeiteinheiten immer auch der gleiche Weg zurückgelegt, so bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit. Man spricht auch von einer gleichförmigen Translation. Die konstante Geschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit. Die Geschwindigkeit gibt also den zurückgelegten Weg in Relation zur dafür benötigten Zeitspanne an.
\(\overrightarrow v = \dfrac{{\overrightarrow s }}{t}\)
\(\eqalign{ & {\text{Geschwindigkeit}} = \dfrac{{{\text{zurückgelegter Weg}}}}{{{\text{Zeit}}}} \cr & \left[ v \right] = \frac{m}{s} \cr} \)
\(\overrightarrow v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{{\Delta \overrightarrow s }}{{\Delta t}} = \dfrac{{d\overrightarrow s }}{{dt}} = \mathop {\overrightarrow s }\limits^ \cdot\)
Die Momentangeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt. In einem fahrenden Auto wird die Momentangeschwindigkeit Mittels des Tachometers angezeigt. Durch Verkehr, Ampeln und die Beschaffenheit der Fahrtstrecke ändert sich die Geschwindigkeit im Zuge einer Autofahrt jedoch immer wieder. Die Durchschnittsgeschwindigkeit gibt den Mittelwert aller Momentangeschwindigkeiten an. Sie ist ein Rechenwert, den man erhält, wenn man die gefahrene Strecke durch die dafür benötigte Zeitdauer dividiert. Tachometer messen den zurückgelegten Weg indirekt, indem sie zählen wie oft sich die Radachse in einer bestimmten Zeit gedreht hat. Dh sie messen eine Drehzahl und multiplizieren diese mit dem Abrollumfang des Rades. Montiert man ein Rad mit einem größeren Radius muss der Tacho neu justiert werden.
Werden in gleichen aufeinander folgenden Zeiteinheiten unterschiedliche weite Weg zurückgelegt, so liegt eine beschleunigte Bewegung vor, wodurch die Geschwindigkeit des Körpers zu- oder abnimmt, sich dessen Geschwindigkeit also erhöht oder verlangsamt.
- Eine positive Beschleunigung bewirkt eine Zunahme der Geschwindigkeit und erfordert eine Kraft die auf den Körper in Richtung seiner Bewegung einwirkt.
- Eine negative Beschleunigung bewirkt eine Abnahme der Geschwindigkeit und erfordert eine Kraft die auf den Körper entgegen seiner Bewegungsrichtung einwirkt.
Die Geschwindigkeit wird in der täglichen Praxis in Meter pro Sekunde (m/s) oder in Kilometer pro Stunde (km/h) angegeben. Wichtige Geschwindigkeiten sind
- Schallgeschwindigkeit ca. 1.234,8 km/h
- Fluchtgeschwindigkeit der Erde ca. 11,2 km/s
- Geschwindigkeit der Erde um die Sonne ca. 30 km/s
- Lichtgeschwindigkeit und somit die maximale Geschwindigkeit für Materie ca 299.792 km/s
Meter pro Sekunde
Meter pro Sekunde ist die Einheit der Geschwindigkeit. Ein Körper welcher sich mit konstanter Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt, legt in einer Sekunde die Entfernung von einem Meter zurück. Das entspricht der Geschwindigkeit mit der sich ein Fußgänger fortbewegt.
\(1 \cdot \dfrac{m}{s} = 1 \cdot \dfrac{m}{s} \cdot \dfrac{{1 \cdot km}}{{1000 \cdot m}} \cdot \dfrac{{3600 \cdot s}}{{1 \cdot h}} = \dfrac{{3600}}{{1000}} \cdot \dfrac{{m \cdot km \cdot s}}{{s \cdot m \cdot h}} = 3,6\dfrac{{km}}{h}\)
Beschleunigung a
Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert.
a=a(t)=v'(t)=s''(t)
Die Beschleunigung ist eine gerichtete Größe (mathematisch ein Vektor), d.h. sie hat eine Richtung und einen Betrag.
\(\overrightarrow a = \dfrac{{\overrightarrow v }}{t}\)
\(\eqalign{ & {\text{Beschleunigung}} = \dfrac{{{\text{Änderung der Geschwindigkeit}}}}{{{\text{Zeit}}}} \cr & \left[ a \right] = \frac{m}{{{s^2}}} \cr} \)
\(\overrightarrow a = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{{\Delta \overrightarrow v }}{{\Delta t}} = \dfrac{{d\overrightarrow v \left( t \right)}}{{dt}} = \dfrac{{{d^2}\overrightarrow s }}{{d{t^2}}} = \mathop {\overrightarrow s }\limits^{ \cdot \cdot } = \mathop {\overrightarrow v }\limits^ \cdot \left( t \right)\)
Meter pro Sekundenquadrat
Meter pro Sekundenquadrat ms-2 ist die Einheit der Beschleunigung im internationalen Einheitensystem.
\({\text{Einheit: }}1\dfrac{m}{{{s^2}}}\)
Damit ein Fahrzeug innerhalb von 10 Sekunden von 0 auf 100 km/h Geschwindigkeit kommt, muss es mit 2,778 m/s² beschleunigt werden.
Geschwindigkeit einer Internetverbindung
Die Geschwindigkeit einer Internetverbindung, also ihre Datenübertragungsrate, wird in Megabit pro Sekunde (Mbit/s) gemessen. Sie ist ein Maß dafür, wie viele Daten pro Sekunde von einem Server zum Nutzer (Download-Geschwindigkeit) bzw vom Nutzer zu anderen Nutzern (Upload-Geschwindigkeit) übertragen werden können.
- 1 Megabit pro Sekunde Mbps entspricht 1 Million Bit pro Sekunde oder 125.000 Byte (1 Byte = 8 Bit) pro Sekunde.
- 1 MegaByte pro Sekunde MBps entspricht 1 Million Byte pro Sekunde oder 8 Millionen Bit pro Sekunde; 1 MBps = 8 Mbps
Übliche kabelgebundene Internet-Download-Geschwindigkeiten liegen zwischen 100 Mbit/s und 1 Gbit/s. Die Upload-Geschwindigkeiten sind meist wesentlich geringer, da Haushalte viele Daten, besonders Videos vom Internet als Stream beziehen und nur wenige Daten (etwa Mails, Chats, Bilder) ins Internet hochladen. Professionelle Webseiten wie maths2mind.com sind Upstream mit 1 GBit/s an das Backbone Internet angebunden.
Die tatsächliche Geschwindigkeit einer Internetverbindung wird mit sogenannten Speedtest-Tools gemessen. Hier ein Link auf die Datenratenmessung der deutschen Bundesnetzagentur.
Über einen Transponder eines TV-Satelliten können bei Mietkosten von ca. 2 Millionen € pro Jahr ca. 40 Mbps übertragen werden. Das bietet Platz für 16 SDTV-Kanäle oder 4 HDTV Kanäle mit 5-8 Mbps je Kanal oder einem einzigen 4k-TV-Kanal. Für ein 8k-TV-Signal wären bereits 4 Transponder parallel erforderlich.
Die erforderliche Datenübertragungsrate für ein Full-HD-Video (1920 x 1080 Pixel) liegt je nach Codec zwischen 3 Mbps (H.265) und 6 Mbps (H.264). Für ein UHD-Video (3840 x 2160 Pixel) liegt die Datenübertragungsrate etwa 4-Mal so hoch.
Die erforderliche dauerhafte Speichergeschwindigkeit für ein 6k-RAW-Video beträgt 2600 Mbit/s, die eines 4k-H.264-Slow-Motion-Videos mit 120 fps beträgt 1.880 Mbit/s. Auf einem 100 GB großen Speicherplatz kann man ca. 5 Minuten 6k-RAW-Video oder 10 Minuten 4k-Slow-Motion-Video aufzeichnen.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Mechanik | Mechanik ist die Lehre von bewegten Körpern und Kräften. |
Aktuelle Lerneinheit
Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung | Der Weg s gibt an, wie weit 2 Punkte entlang einer gegebenen Bahn voneinander entfernt sind. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Kraft, Feld, Wechselwirkung und Austauschteilchen | Kraft, Feld, Wechselwirkung und Austauschteilchen sind wesentliche Begriffe, die speziell beim Übergang von der Newton'schen Physik zur Relativistischen Physik und zur Quantenphysik von Bedeutung sind. |
Mechanischer Wirkungsgrad | Der mechanische Wirkungsgrad das Verhältnis von nutzbarer Leistung zur zugeführten Leistung |
Impuls | Der Impuls verknüpft die beiden Faktoren Masse und Geschwindigkeit |
Mechanische Leistung | Leistung = Arbeit pro Zeit bzw. Energie pro Zeit |
Mechanische Arbeit | Die mechanische Arbeit entspricht der Kraft in Richtung des Weges mal dem zurückgelegten Weg |
Druck | Druck entspricht der Kraft, die senkrecht auf eine Flächeneinheit wirkt. |
Newtonsche Gesetze | Die Newton'schen Gesetze formulieren die Grundlagen der Bewegung zufolge von Krafteinwirkung. |
Masse (gemäß Newton) | Masse (gemäß Newton) ist eine scheinbar alltägliche Eigenschaft der Materie. Die Größe der Masse wird durch ihre Dichtigkeit und ihr Volumen vereint gemessen. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4438
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking - Aufgabe B_508
Teil a
Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Usain Bolt im Finale des 100-Meter-Laufes der Männer. Die Silbermedaille ging an Richard Thompson. Die jeweilige Geschwindigkeit der beiden Läufer bei diesem Lauf kann durch die nachstehenden Funktionen modellhaft beschrieben werden.
\(\begin{gathered} {v_B}\left( t \right) = 12,151 \cdot \left( {1 - {e^{ - 0,684 \cdot t}}} \right) \hfill \\ {v_T}\left( t \right) = 12,15 \cdot \left( {1 - {e^{ - 0,601 \cdot t}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \)
t |
Zeit ab dem Start in s |
vB(t) |
Geschwindigkeit von Usain Bolt zur Zeit t in m/s |
vT(t) |
Geschwindigkeit von Richard Thompson zur Zeit t in m/s |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Beschleunigung von Usain Bolt 1 s nach dem Start.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, was mit dem nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
\(\dfrac{1}{{8 - 5}} \cdot \int\limits_5^8 {{v_B}\left( t \right)} \,\,dt\)
Usain Bolt überquerte die Ziellinie 9,69 s nach dem Start.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, wie weit Richard Thompson von der Ziellinie entfernt war, als Usain Bolt diese überquerte.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 1591
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fahrzeit von Zügen
Um 8:00 Uhr fährt ein Güterzug von Salzburg in Richtung Linz ab. Vom 124 km entfernten Bahnhof Linz fährt eine halbe Stunde später ein Schnellzug Richtung Salzburg ab. Der Güterzug bewegt sich mit einer mittleren Geschwindigkeit von 100 km/h, die mittlere Geschwindigkeit des Schnellzugs ist 150 km/h.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Mit t wird die Fahrzeit des Güterzugs in Stunden bezeichnet, die bis zur Begegnung der beiden Züge vergeht. Geben Sie eine Gleichung für die Berechnung der Fahrzeit t des Güterzugs an und berechnen Sie diese Fahrzeit!
Aufgabe 1175
AHS - 1_175 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchschnittsgeschwindigkeit
Ein Fahrzeug erreichte den 1. Messpunkt einer Abschnittskontrolle zur Geschwindigkeitsüberwachung (Section-Control) um 9:32:26 Uhr. Die Streckenlänge der Section-Control beträgt 10 km. Der 2. Messpunkt wurde um 9:38:21 Uhr durchfahren.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs!
Aufgabe 1511
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Daten aus einem Diagramm ablesen
Ein Motorradfahrer fährt dieselbe Strecke (560 km) wie ein Autofahrer. Die beiden Bewegungen werden im nachstehenden Zeit-Weg-Diagramm modellhaft als geradlinig angenommen. Die hervorgehobenen Punkte haben ganzzahlige Koordinaten.
- Aussage 1: Der Motorradfahrer fährt drei Stunden nach der Abfahrt des Autofahrers los.
- Aussage 2: Das Motorrad hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h.
- Aussage 3: Wenn der Autofahrer sein Ziel erreicht, ist das Motorrad davon noch 120 km entfernt.
- Aussage 4: Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos ist um 40 km/h niedriger als jene des Motorrads.
- Aussage 5: Die Gesamtfahrzeit des Motorradfahrers ist für diese Strecke größer als jene des Autofahrers.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die eine korrekte Interpretation des Diagramms darstellen!
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Aufgabe 1457
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mittlere Geschwindigkeit
Die Funktion h, deren Graph in der nachstehenden Abbildung dargestellt ist, beschreibt näherungsweise die Hohe h(t) eines senkrecht nach oben geschossenen Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Sekunden, h(t) in Metern).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie anhand des Graphen die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in Metern pro Sekunde im Zeitintervall [2 s; 4 s]!
Aufgabe 4300
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Section-Control - Aufgabe_A226
Section-Control bezeichnet ein System zur Überwachung der Einhaltung von Tempolimits im Straßenverkehr. Dabei wird nicht die Geschwindigkeit an einem bestimmten Punkt gemessen, sondern die mittlere Geschwindigkeit über eine längere Strecke ermittelt.
Teil c
Ein Fahrzeug fährt durch einen Bereich, der durch eine Section-Control überwacht wird. Seine Geschwindigkeit nimmt auf diesem Streckenabschnitt linear ab. Die Endgeschwindigkeit vE, die Fahrzeit t und der zurückgelegte Weg s sind bekannt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Anfangsgeschwindigkeit vA des Fahrzeugs:
vA = [1 Punkt]