Aufgabe 1457
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mittlere Geschwindigkeit
Die Funktion h, deren Graph in der nachstehenden Abbildung dargestellt ist, beschreibt näherungsweise die Hohe h(t) eines senkrecht nach oben geschossenen Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Sekunden, h(t) in Metern).
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie anhand des Graphen die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in Metern pro Sekunde im Zeitintervall [2 s; 4 s]!
Lösungsweg
Dem Graph können wir die momentane Höhe des Körpers h(t) zum jeweiligen Zeitpunkt entnehmen. Wir sollen nun die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [2 s; 4 s] bestimmen. Dazu lesen wir zunächst die Werte \(h(2) = 80m\) und \(h(4) = 120m\) aus der Skizze ab. Das heißt, der Körper hat während dieser 2 Sekunden ( \(\Delta t = 2s\) etwa 40 Meter ( \(\Delta h = 40m\) nach oben bewegt. Die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich daraus welchen Weg in welcher Zeiteinheit zurückgelegt hat.
Anmerkung: Es wäre zulässig, statt von der mittleren Geschwindigkeit auch von der durchschnittlichen Geschwindigkeit zu sprechen.
Die mittlere Geschwindigkeit entspricht dem Anstieg k der Sekante zwischen den beiden Funktionswerten \(h(2) = 80m\) und \(h(4) = 120m\) und errechnet sich wie folgt:
\({v_{mittel}} = \overline v = \dfrac{{\Delta h}}{{\Delta t}} = \dfrac{{h\left( 4 \right) - h\left( 2 \right)}}{{4 - 2}} = \dfrac{{120 - 80}}{2} = \dfrac{{40}}{2} = 20\)
Zur Veranschaulichung noch eine Skizze:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overline v = 20\dfrac{m}{s}\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [19 m/s; 21 m/s]
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit \(\dfrac{m}{s}\) nicht angeführt sein muss.