Rechenregeln für bestimmte Integrale
Formel
Rechenregeln für bestimmte Integrale
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Integral bei einer Intervalllänge gleich Null
\(\eqalign{ & \int\limits_a^a {f\left( x \right)\,\,dx = 0} \cr}\)
Vertauschen der Integrationsgrenzen
Beim Integrieren kehrt sich das Vorzeichen durch das Vertauschen der Integrationsgrenzen um
\(\int\limits_b^a {f\left( x \right)\,\,dx = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} } \,\,dx\)
Kombination benachbarter Intervalle
Beim Integrieren kann man benachbarte Intervalle zu einem Intervall zusammenfassen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)\,\,dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)\,\,dx} } } \)
Kriterium für Integrierbarkeit
Das Kriterium für Integrierbarkeit ist, dass die Funktion im Intervallbereich [a,b] monoton oder stetig oder zumindest stückweise stetig ist (d.h. nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt).
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Aktuelle Lerneinheit
Rechenregeln für bestimmte Integrale | Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Bestimmtes Integral - Bogenlänge | Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. |
Anwendungen der Integralrechnung | Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen. |
Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion | Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen und Ihre Ableitungsfunktionen sowie die Stammfunktionen angeführt sind, darüber hinaus gibt es noch Integrationsregeln |
Integration spezieller Funktionen | Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen. |
Integrationsregeln | Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können. |
Auffinden gängiger Stammfunktionen | Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird |
Bestimmtes Integral - Rotationskörper | Die Mantelfläche einer Funktion f(x) bei Rotation um die x bzw. y Achse kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden |
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt von Flächen | Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden. |
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt | Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4201
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhaus - Aufgabe A_116
Teil b
Die Fenster des Baumhauses sollen eine spezielle Form haben (siehe grau markierte Flache in der nachstehenden Abbildung).
Die obere Begrenzungslinie des Fensters kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,164 \cdot {x^2} - 2,25 \cdot x + 40{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 40\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Fensterfläche in der dargestellten Form kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlange 40 cm ist.
[2 Punkte]
Aufgabe 1845
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bestimmtes Integral
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der in jedem Fall mit \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \,\,dx\) übereinstimmt.
- Ausdruck 1: \(\dfrac{{F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right)}}{{5 - 2}}\)
- Ausdruck 2: \(\dfrac{{F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right)}}{{F\left( 2 \right)}}\)
- Ausdruck 3: \(F\left( 5 \right) - F\left( 2 \right)\)
- Ausdruck 4: \(F\left( 5 \right) + F\left( 2 \right)\)
- Ausdruck 5: \(\dfrac{{F\left( 2 \right) + F\left( 5 \right)}}{2}\)
- Ausdruck 6: \(\dfrac{{F\left( 5 \right)}}{{F\left( 2 \right)}}\)
[1 aus 6]
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4316
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ganzkörperhyperthermie - Aufgabe A_158
Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber). Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwischen Zeit und Körpertemperatur:
\(f\left( t \right) = - 0,18 \cdot {t^3} + 0,85 \cdot {t^2} + 0,6 \cdot t + 36,6\)
- t ... Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5
- f(t) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C
Teil d
Die mittlere Körpertemperatur f während der 5 Stunden andauernden Behandlung soll ermittelt werden. Die mittlere Körpertemperatur in einem Zeitintervall [t1; t2] ist:
\(\overline f = \dfrac{1}{{{t_2} - {t_1}}} \cdot \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {f\left( t \right)} \,\,dt\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f im Intervall [0; 5].
[1 Punkt]
Aufgabe 1870
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benzinverbrauch bei der Fahrt auf einer Landstraße
Maria fährt mit ihrem Auto auf einer Landstraße eine Strecke von 10 km. Die Funktion b gibt den momentanen Benzinverbrauch b(s) (in L/km) in Abhängigkeit von der zurückgelegten
Strecke s (in km) seit Beginn der Fahrt an (siehe nachstehende Abbildung).
Der Ausdruck V hat die Einheit L/km und wird mithilfe der nachstehenden Formel berechnet.
\(V = \dfrac{1}{{10}} \cdot \int\limits_0^{10} {b\left( s \right)} \,\,ds\)
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie V im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
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