Mehrstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten
Formel
Mehrstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten
Führt man ein Zufallsexperiment mehrfach hintereinander aus, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Einfache Beispiele dafür sind das mehrfache Werfen einer Münze oder das mehrfache Werfen eines Würfels.
Formel von Bernoulli für Bernoulli-Ketten
Wird ein Bernoulli-Experiment n mal durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Die bernoullische Formel gibt die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments - einer sogenannten Bernoulli-Kette - an. Dabei ist für jeden einzelnen der k Treffer, p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und (1-p) die Wahrscheinlichkeit für eine Niete. Die einzelnen Teilexperimente müssen von einander unabhängig sein. Jedes Einzelexperiment darf nur zwei mögliche Ausgänge haben.
\(P\left( {X = k} \right) = \left( \begin{gathered} n \\ k \\ \end{gathered} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
P(X=k) | Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung |
n | Anzahl der Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments |
p | Wahrscheinlichkeit für einen Treffer im Bernoulli-Experiment |
k | Anzahl der Treffer bei n Wiederholungen, deren Reihenfolge ist irrelevant |
Beispiel: Würfel (→p=1/6=0,16667) wird 10 Mal geworfen (→n=10). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 Mal zwei Augen zu werfen (→k=3)
\(P\left( {K = 3} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^3} \cdot {\left( {1 - \dfrac{1}{6}} \right)^{10 - 3}} \approx 0,155 \buildrel \wedge \over = 15,5\% \)
Baumdiagramme
Baumdiagramme unterstützen visuell bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Ein Baumdiagramm besteht aus Knoten und Zweigen. Ein Pfad startet bei einem Knoten, verläuft über einen oder mehrere Zweige und endet in einem Knoten.
Zweigwahrscheinlichkeiten
- Neben jeden Zweig schreibt man die Wahrscheinlichkeit, mit der das vom Zweig repräsentierte Zufallsereignis eintritt.
- Die Wahrscheinlichkeit aller Zweige, die von einem Konten weglaufen, summieren sich immer auf 1.
Pfadregeln bei der Lösung von Aufgaben mittels Baumdiagramm
- Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
- Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten
Illustration eines Baumdiagramms
Produktregel für die Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen ("Und" Regel)
Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad (mehrere Zweige in Serie) dargestellt wird (Pfadwahrscheinlichkeit), gleich ist dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Mit anderen Worten: Sollten A und B unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unabhängig voneinander das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
Das eine und das andere Ereignis treten ein: Schnittmenge:
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {A \wedge B} \right) = P\left( {{\text{A und B}}} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\)
Merksatz: "Bei unabhängigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit von A und B ist gleich der Wahrscheinlichkeit von A mal B"
Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen
Produktregeln für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Ereignissen ("Und Regel")
Sollten A und B zwei nicht notwendiger Weise unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich der Eintrittswahrscheinlichkeit für A mal der Eintrittswahrscheinlichkeit für B, unter der Voraussetzung, dass bereits Ereignis A eingetreten ist.
\(P\left( {{A} \cap {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) \cdot P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)\)
Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen
Summenregel für die Wahrscheinlichkeit von unabhängigen Ereignissen ("Oder" Regel)
Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere parallele Pfade dargestellt wird, gleich ist der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Mit anderen Worten: Sollten A und B unvereinbare / disjunkte / einander gegenseitig ausschließende Ereignisse sein, dann gilt wegen \(P\left( {{A} \cap {B}} \right) = 0\) vereinfachend: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das eine oder das andere von 2 disjunkten Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Entweder das eine oder das andere Ereignisse tritt ein: Vereinigungsmenge
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \vee B} \right) = P\left( {{\text{A oder B}}} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang
Summenregeln für Wahrscheinlichkeiten von beliebigen Ereignissen ("Oder Regel")
Sollten A1 und A2 zwei beliebige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass entweder das beliebige Ereignis A eintritt oder das beliebiges Ereignis B eintritt, ist gleich der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten, abzüglich der Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse.
\(P\left( {{A} \cup {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) + P\left( {{B}} \right) - P\left( {{A} \cap {B}} \right) = P\left( {{A}} \right) + P\left( {{B}} \right) - P\left( {{A}} \right) \cdot P\left( {{B}} \right)\)
Für drei beliebige - also nicht notwendigerweise disjunkte - Ereignisse gilt:
\(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) - P\left( {A \cap B} \right) - P\left( {A \cap C} \right) - P\left( {B \cap C} \right) + P\left( {A \cap B \cap C} \right)\)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang
Satz von Bayes - Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, unter der Voraussetzung (Bedingung), dass bereits das Ereignis A eingetreten ist, also bei von einander stochastisch abhängigen Ereignissen
\(P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {{A} \cap {B}} \right)}}{{P\left( {{A}} \right)}}\)
Der Satz von Bayes ermöglicht es die bedingte Wahrscheinlichkeit von \(P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)\) auszurechnen, wenn nur die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit \({P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)}\) und die beiden A-Priori-Wahrscheinlichkeiten \({P\left( {{A}} \right)}\) bzw. \({P\left( {{B}} \right)}\) bekannt sind und umgekehrt.
\(\eqalign{ & P\left( {A\left| B \right.} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \cr & = \dfrac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \dfrac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}} \cr} \)
\(P\left( {{A}\left| {{B}} \right.} \right)\) | Bedingte Wahrscheinlichkeit vom Ereignis A unter der Bedingung, dass Ereignis B schon eingetreten ist |
\({P\left( {{B}\left| {{A}} \right.} \right)}\) | Bedingte Wahrscheinlichkeit vom Ereignis B unter der Bedingung, dass Ereignis A schon eingetreten ist |
\({P\left( {{A}} \right)}\) | A-priori-Wahrscheinlichkeit für den Eintritt vom Ereignis A |
\({P\left( {{B}} \right)}\) | A-priori-Wahrscheinlichkeit für den Eintritt vom Ereignis B |
Vierfeldtafel zur Bestimmung bedingter Wahrscheinlichkeiten
Eine Vierfeldtafel eignet sich zur Bestimmung der Zusammenhänge zweier Ereignisse A und B
- Zuerst erfolgt die Beschriftung vom Ereignis und dem zugehörigen Gegenereignis in der 1. Zeile und der 1. Spalte
- Dann erfolgt die Beschriftung der Wahrscheinlichkeiten vom Ereignis A bzw. B und der Wahrscheinlichkeit vom zugehörigen Gegenereignis in der 4. Zeile und in der 4. Spalte
- Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(A\) und \({\overline A }\) bzw. \(B\) und \({\overline B }\) addieren sich jeweils auf 1, was wir im Feld rechts unten eintragen.
- In die eigentlichen 4 Felder der Vierfeldtafel trägt man letztlich die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen ein.
\(B\) | \({\overline B }\) | ||
\(A\) | \({P\left( {A \cap B} \right)}\) | \({P\left( {A \cap \overline B } \right)}\) | \({P\left( A \right)}\) |
\({\overline A }\) | \({P\left( {\overline A \cap B} \right)}\) | \({P\left( {\overline A \cap \overline B } \right)}\) | \({P\left( {\overline A } \right)}\) |
\({\sum }\) | \({P\left( B \right)}\) | \({P\left( {\overline B } \right)}\) | 1 |
- Die Wahrscheinlichkeiten in der 4. Zeile errechnet sich aus der Summe der beiden darüber stehenden Wahrscheinlichkeiten
- Die Wahrscheinlichkeiten in der 4. Spalte errechnet sich aus der Summe der beiden links stehenden Wahrscheinlichkeiten
Anstelle von Wahrscheinlichkeiten können in den Felder der Vierfeldtafel auch absoluten Häufigkeiten oder Prozentwerte stehen.
Abhängige bzw. unabhängige Ereignisse:
Zwei Ereignisse A bzw. B sind von einander abhängig, wenn das Eintreten vom Ereignis A das Eintreten vom Ereignis B beeinflusst. Unabhängige Ereignisse kann man einfacher berechnen als von einander abhängige Ereignisse.
Die Ereignisse A und B sind voneinander
- abhängig, wenn gilt: \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \ne P\left( {A \cap B} \right)\)
- unabhängig, wenn gilt: \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = P\left( {A \cap B} \right)\)
In obiger Vierfeldtafel können wir die 3 Werte wie folgt ablesen:
- P(A) lesen wir in der 1. Zeile in der letzten Zeile ab
- P(B) lesen wir in der 1. Spalte in der letzten Zeile ab
- P(A ∩ B) lesen wir in der 1. Zeile in der 1. Spalte ab
Visualisierung im Baumdiagramm
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht es die Einzelwahrscheinlichkeiten aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
\(\eqalign{ & P\left( A \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right) \cdot P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)} \cr & {\text{mit }}{{\text{B}}_1} \cup {B_2} \cup ... \cup {B_n} = \Omega \cr} \)
Beispiel:
n=2:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A\left| {\overline B } \right.} \right)\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Mehrstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten |
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Aktuelle Lerneinheit
Mehrstufige Zufallsexperimente und deren Wahrscheinlichkeiten |
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Binomialverteilung | Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie entsteht, wann man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert ausführt. |
Zusammenhang Laplace Experiment bzw. Laplace Wahrscheinlichkeit mit Bernoulli- bzw. Binomialverteilung |
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Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4472
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kartenspiel - Aufgabe A_304
Teil b
Lukas wählt für 40 % seiner Spiele eine aggressive Strategie, für die restlichen Spiele wählt er eine defensive Strategie.
- Spiele, für die er eine aggressive Strategie wählt, gewinnt er mit der Wahrscheinlichkeit p.
- Spiele, für die er eine defensive Strategie wählt, gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 54 %.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
[0 / 1 P.]
Die Wahrscheinlichkeit, dass Lukas ein zufällig ausgewähltes Spiel gewinnt, beträgt 53,2 %.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 6009
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Bernoullikette
Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit p beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt.
- Aussage A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
- Aussage B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.
Aufgabe 6009
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Bernoullikette
Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit p beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt.
- Aussage A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
- Aussage B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.
Aufgabe 1520
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weiche und harte Eier
Beim Frühstücksbuffet eines Hotels befinden sich in einem Körbchen zehn äußerlich nicht unterscheidbare Eier. Bei der Vorbereitung wurde versehentlich ein hart gekochtes Ei zu neun weich gekochten Eiern gelegt.
Aufgabenstellung:
Eine Dame entnimmt aus dem noch vollen Körbchen ein Ei, das sie zufällig auswählt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der nächste Gast bei zufälliger Wahl eines Eies das harte Ei entnimmt!
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Aufgabe 1802
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Testaufgaben
Für eine internationale Vergleichsstudie wird eine große Anzahl an Testaufgaben erstellt. Erfahrungsgemäß werden in einem ersten Begutachtungsverfahren aus formalen Gründen 20 % der Aufgaben verworfen. Die restlichen Aufgaben durchlaufen ein zweites Begutachtungsverfahren. Erfahrungsgemäß werden dabei aus inhaltlichen Gründen 10 % der Aufgaben verworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine erstellte Aufgabe verworfen wird.
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1353
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Adventkalender
In einem Adventkalender wurden versehentlich 4 der 24 vorhandenen Fenster nicht befüllt.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Öffnen des dritten Fensters das erste leere Fenster vorfinden!
Aufgabe 1874
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zweistufiges Zufallsexperiment
Bei einem Zufallsexperiment tritt entweder „Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit p oder „Misserfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p ein.
Dieses Zufallsexperiment wird 2-mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens 1-mal „Erfolg“ eintritt, betragt 0,36.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 1185
AHS - 1_185 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Laplace-Experiment
In einer Schachtel befinden sich rote, blaue und gelbe Wachsmalstifte. Ein Stift wird zufällig entnommen, dessen Farbe notiert und der Stift danach zurückgelegt. Dann wird das Experiment wiederholt. Beobachtet wird, wie oft bei zweimaligem Ziehen ein gelber Stift entnommen wurde. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl x der gezogenen gelben Stifte. Die nachstehende Tabelle stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X dar.
x | P(X=x) |
0 | \(\dfrac{4}{9}\) |
1 | \(\dfrac{4}{9}\) |
2 | \(\dfrac{1}{9}\) |
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, nur rote oder blaue Stifte zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, keinen oder einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein gelber Stift gezogen wird, ist größer als 10 %.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1802
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Testaufgaben
Für eine internationale Vergleichsstudie wird eine große Anzahl an Testaufgaben erstellt. Erfahrungsgemäß werden in einem ersten Begutachtungsverfahren aus formalen Gründen 20 % der Aufgaben verworfen. Die restlichen Aufgaben durchlaufen ein zweites Begutachtungsverfahren. Erfahrungsgemäß werden dabei aus inhaltlichen Gründen 10 % der Aufgaben verworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine erstellte Aufgabe verworfen wird.
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1658
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rot-Grün-Sehschwäche
Eine der bekanntesten Farbfehlsichtigkeiten ist die Rot-Grün-Sehschwäche. Wenn jemand davon betroffen ist, dann ist diese Fehlsichtigkeit immer angeboren und verstärkt oder vermindert sich nicht im Laufe der Zeit. Von ihr sind weltweit etwa 9 % aller Männer und etwa 0,8 % aller Frauen betroffen. Der Anteil von Frauen an der Weltbevölkerung liegt bei 50,5 %.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass eine nach dem Zufallsprinzip ausgewählte Person eine Rot-Grün-Sehschwäche hat!
Aufgabe 4467
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handyproduktion - Aufgabe B_517
Teil d:
Die häufigsten Fehler, die bei den Handymodellen H1 und H2 auftreten, sind Displayfehler und Akkufehler. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese beiden Fehler auftreten, sind in der nachstehenden Vierfeldertafel dargestellt.
Displayfehler | kein Displayfehler | Summe | |
Akkufehler | 0,01 | 0,02 | 0,03 |
kein Akkufehler | 0,01 | 0,96 | 0,97 |
Summe | 0,02 | 0,98 | 1,00 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
\(1 - 0,96 = 0,04\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Überprüfen Sie nachweislich, ob die beiden Ereignisse „Displayfehler“ und „Akkufehler“ voneinander unabhängig sind.
[0 / 1 P.]
Bei einem Handy ist ein Displayfehler aufgetreten.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedingung auch ein Akkufehler auftritt.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4054
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spam - Aufgabe B_418
Teil b
Nach Expertenschätzungen sind 80 % aller E-Mails Spam.
- In 8 % aller E-Mails kommt das Wort „Konto“ vor.
- 7 % aller E-Mails enthalten das Wort „Konto“ und sind Spam.
S bezeichnet das Ereignis, dass ein zufällig ausgewähltes E-Mail Spam ist, \(\overline S \)bezeichnet das Gegenereignis von S.
K bezeichnet das Ereignis, dass ein zufällig ausgewähltes E-Mail das Wort „Konto“ enthält, \(\overline K \) bezeichnet das Gegenereignis von K.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie die nachstehende Vierfeldertafel so, dass sie den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.
[1 Punkt]
S | \(\overline S \) | Summe | |
K | |||
\(\overline K \) | |||
Summe |
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus der Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeit ab, dass ein zufällig ausgewähltes E-Mail kein Spam ist und das Wort „Konto“ enthält.
[1 Punkt]
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird in diesem Zusammenhang durch folgenden Ausdruck ermittelt: \(P\left( E \right) = \dfrac{{0,07}}{{0,08}}\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie dieses Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
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