Streumaße
Formel
Streuung
Unter Streuung versteht man die Verteilung der einzelnen Werte um den Mittelwert. Eine schwache Streuung bedeutet dass die Werte dicht beim Mittelwert liegen, während eine starke Streuung bedeutet, dass die Werte entfernt vom Mittelwert liegen.
Beispiel:
Die Werte 100, 200 und 300 haben einen Mittelwert von 200. Die Werte 199, 200 und 201 haben ebenfalls den Mittelwert 200, sie sind streuen aber erheblich weniger.
Streumaße
Streumaße geben Auskunft über die Breite der Verteilung, also zur Variabilität der Werte. Streumaße messen die Streuung.
R | Spannweite (engl. range) |
e | Mittlere lineare Abweichung |
\({{s^2}{\text{ bzw}}{\text{. }}{\sigma ^2}}\) | Varianz |
\({s{\text{ bzw}}{\text{. }}\sigma }\) | Standardabweichung |
Streudiagramme
Streudiagramme bilden paarweise verknüpfte Datensätze (X, Y) in Form einer zweidimensionalen Punktwolke ab.
Spannweite
Die Spannweite R (engl. range) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der geordneten Datenreihe. Sie beinhaltet lediglich eine Aussage bezüglich der beiden Extremwerte, erlaubt aber keine Aussage bezüglich der Struktur der Einzelwertverteilung zwischen den beiden Extremwerten.
\(R = {x_{{\text{max}}}} - {x_{{\text{min}}}}\)
Mittlere lineare Abweichung
Der mittleren linearen Abweichung liegt der Abstand von jedem einzelnen Wert xi zum arithmetischen Mittelwert \(\overline x\) zugrunde.
\(e = \dfrac{{\left| {{x_1} - \overline x } \right| + \left| {{x_2} - \overline x } \right| + ...\left| {{x_n} - \overline x } \right|}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{x_i} - \overline x } \right|}\)
Varianz
Die Varianz dient der Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, sie ist ein Streumaß der beschreibenden Statistik. Die Varianz ist ein Maß für die quadrierte durchschnittliche Entfernung aller Messwerte vom arithmetischen Mittelwert also dem Erwartungswert. Der Varianz liegt also der quadrierte Abstand jedes einzelnen Werts xi zum arithmetischen Mittelwert \(\overline x \) zugrunde. Die Varianz hat daher eine andere Einheit als die Messwerte, nämlich deren Quadrat. Diese "Unschönheit" löst man auf, indem man mit der Standardabweichung arbeitet, welche die Quadratwurzel aus der Varianz ist.
\(\eqalign{ & {s^2} = {\sigma ^2} =Var(X)=V(X)= \dfrac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ...{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n} \cr & {s^2} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} \cr}\)
Empirische Varianz
Das Wort "empirisch" weist darauf hin, dass alle Daten der Grundgesamtheit analysiert werden, die aus der Beobachtung eines Prozesses gewonnen wurden.
Varianz einer Stichprobe berechnen
Bei der Stichprobenvarianz wird die Summe der quadrierten Abweichungen nicht durch die Anzahl der erhobenen Merkmalsausprägungen n sondern - so wie auch bei der Standardabweichung einer Stichprobe - durch (n-1) dividiert. Für die Varianz einer Stichprobe vom Umfang n gilt:
\({s_{n - 1}}^2 = \dfrac{1}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}\)
Bessel-Korrektur
Die Bessel-Korrektur ist eine statistische Anpassung, die angewendet wird, um eine verzerrte Schätzung der Stichprobenvarianz zu korrigieren. Sie wird verwendet, wenn die Stichprobenvarianz dazu neigt, die wahre Varianz der Grundgesamtheit zu unterschätzen. Das ist vor allem bei kleinen Stichproben der Fall. Die Bessel-Korrektur besteht darin, den Nenner von (n - 1) auf n zu ändern, wodurch die Varianz größer wird:
\({s_{n}}^2 = \dfrac{1}{{n}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}\)
Varianz \(\sigma ^2\) einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x1, x2, ..., xk berechnen
\({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = E{\left( {X - E\left( X \right)} \right)^2} = E\left( {{X^2}} \right) - {\left( {E\left( X \right)} \right)^2}\)
- Von jedem Wert xi der Zufallsvariablen X wird der Erwartungswert \(E\left( X \right) = \mu \) abgezogen.
- Diese Differenz wird quadriert
- Davon bildet man erneut den Erwartungswert, um so die Varianz zu erhalten.
\({\sigma ^2} = V\left( X \right) = Var\left( X \right) = {\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i} - \mu } \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right) = {\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i} - E\left( X \right)} \right)} ^2} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)\)
- Es wird jeweils vom Wert xi der diskreten Zufallsvariablen X der Erwartungswert E(X) abgezogen.
- Diese Differenz quadriert man und anschließend multipliziert man noch mit der Wahrscheinlichkeit P(X = xi).
- So verfährt man mit jedem Wert xi und summiert letztlich die einzelnen Ergebnisse auf, um so die Varianz zu erhalten.
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche Entfernung aller Messwerte vom arithmetischen Mittelwert. Je stärker die Werte um den arithmetischen Mittelwert streuen um so höher ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung einer Stichprobe ist umso größer, je kleiner der Stichprobenumfang ist. Der Graph der Dichtefunktion ist umso breiter und verläuft umso flacher, je kleiner die Stichprobe ist.
- \(\sigma\) ist die übliche Bezeichnung, wenn es sich um die Standardabweichung der Grundgesamtheit handelt.
- s ist die übliche Bezeichnung, wenn die Standardabweichung aus einer Stichprobe ermittelt wurde.
Beispiel: 10 Personen werden gefragt, wie viel sie für einen Sommerurlaub ausgeben. Der Mittelwert der 10 Ausgaben liegt bei 2.000€, die Standardabweichung liegt bei 200 €. Das bedeutet dass die durchschnittliche Entfernung aller Antworten vom Mittelwert 200 € beträgt.
Unterschied Standardabweichung und Varianz
- Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche, während die Varianz ein Maß für das Quadrat der durchschnittlichen Entfernung aller Messwerte vom arithmetischen Mittelwert ist.
- Der Vorteil der Standardabweichung gegenüber der Varianz ist, dass nicht Quadrate der Einheiten (z.B. Euro2) sondern die eigentlichen Einheiten der gemessenen Werte (z.B. Euro) verwendet werden.
- Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Standardabweichung und Varianz sind direkt proportional zu einander.
Auswirkung von "Ausreißern"
Datenreihe | mittlere lineare Abweichung | Varianz | Standardabweichung | wahrer Mittelwert |
(10,10,10,10) | 0 | 0 | 0 | 10 |
(10,10,10,9) | 0,375 | 0,25 | 0,5 | 9,75 |
(10,10,10,8) | 0,75 | 1 | 1 | 9,5 |
(10,10,10,2) "Ausreißer" | 3 | 16 | 4 | 8 |
Standardabweichung einer Vollerhebung berechnen
Standardabweichung einer Vollerhebung berechnen, bei der man den wahren Mittelwert kennt → \(\dfrac{1}{n}\)
Die (empirische) Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Erwartungswert entfernt liegen, d.h. wie weit die einzelnen Messwerte um den Erwartungswert streuen. Je kleiner die Standardabweichung ist, um so besser repräsentiert der Erwartungswert die einzelnen Messwerte.
- Betrachten wir einen extremen Fall: Sind alle einzelnen Messwerte gleich, dann ist die Standardabweichung null, weil dann alle Messwerte zu ihrem Erwartungswert gleich sind.
- Die Standardabweichung ist immer größer gleich Null.
\(\eqalign{ & s = \sqrt {{s^2}} = \sigma = \sqrt {{\sigma ^2}} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ...{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}} \cr & s=\sigma = \sqrt {\dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}\,\,} } \cr}\)
\(s=\sigma = \sqrt {Var\left( X \right)} \)
Standardabweichung einer Stichprobe berechnen
Die Stichprobenstandardabweichung ist umso größer, je kleiner der Stichprobenumfang n ist. Der Graph der Dichtefunktion ist umso breiter und verläuft umso flacher, je kleiner die Stichprobe ist. Die Standardabweichung der Stichprobe entspricht dem Abstand der Wendepunkte vom Graph der Dichtefunktion bis zum Erwartungswert der Stichprobe.
Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n berechnen, bei der man den wahren Mittelwert nicht kennt → \(\dfrac{1}{{n - 1}}\)
\({s} = \sqrt {\dfrac{1}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}\,\,} } \)
Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n berechnen, bei gegebener absoluter Häufigkeit n1, .., nk → \(\dfrac{1}{{n - 1}}\)
\(s = \sqrt {\dfrac{1}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {{n_k} \cdot {{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} } \)
Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n berechnen, bei gegebener relativer Häufigkeit h1,..., hk → \(\dfrac{1}{{n - 1}}\)
\(s = \sqrt {\dfrac{n}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {{h_k} \cdot {{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} } \)
Standardfehler bzw. Stichprobenfehler
Der Standardfehler (SEM = Standard Error of the Mean) ist ein Maß dafür, inwieweit die Standardabweichung einer Stichprobe σS von der Standardabweichung der Grundgesamtheit σ abweicht. Wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit σ und die Stichprobengröße n bekannt sind, gilt:
\(SEM = {\sigma _S} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }}\)
Je größer die Stichprobe, die ja im Nenner steht, umso kleiner der Standardfehler.
Unterschied Standardabweichung und Standardfehler
- Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche Entfernung aller Messwerte vom arithmetischen Mittelwert. Sie beeinflusst Breite und Höhe vom Graph der Dichtefunktion
- Der Standardfehler ist ein Maß für mittlere Abweichung des Mittelwerts von lediglich einer Stichprobe zum Mittelwert der realen Grundgesamtheit.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Beschreibende Statistik | Die beschreibende bzw. deskriptive Statistik stellt große Datenmengen (Vollerhebung, Grundgesamtheit) übersichtlich dar und verdichtet diese, damit charakteristische Eigenschaften der Datenmenge durch einfache Kennzahlen ausgedrückt werden können. |
Aktuelle Lerneinheit
Streumaße | Streuungsmaße geben Auskunft über die Breite der Verteilung, also zur Variabilität der Werte |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Kovarianz - Korrelation - Scheinkorrelation - Regression | Es werden die Unterschiede zwischen Kovarianz - Korrelation - (Schein-)Kausalität - Regression angeführt |
Datenerhebung für statistische Aussagen | Für die Datenerhebung zum Zweck von statistischen Aussagen ist eine Reihe von Begriffsbestimmungen zweckmäßig. |
Boxplot | Darstellung einer „Box“ mit je einer „Antenne“ links und rechts von der Box, welche wichtige Lage- und Streumaße grafisch darstellen. |
Lagemaße | Lagemaße sind Kennzahlen, die Auskunft zur zentralen Tendenz geben, wo auf einer vorgegebenen Skala sich die Werte einer Grundgesamtheit konzentrieren. |
Listen und Skalen in der Stochastik | Stochastische Daten werden mit Hilfe von Listen uns Skalen in eine strukturierte Form gebracht, welche die Weiterverarbeitung der Daten erleichtert. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1127
AHS - 1_127 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Datenreihe
Der arithmetische Mittelwert \(\overline x\) der Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{10}}{\text{ ist }}\overline x = 20\). Die Standardabweichung σ der Datenreihe ist σ = 5. Die Datenreihe wird um die beiden Werte x11 = 19 und x12 = 21 ergänzt.
- Aussage 1: Das Maximum der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist größer als das Maximum der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 2: Die Spannweite der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist um 2 größer als die Spannweite der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 3: Der Median der neuen Datenreihe x1, ... , x12 stimmt immer mit dem Median der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.
- Aussage 4: Die Standardabweichung der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist kleiner als die Standardabweichung der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 5: Der arithmetische Mittelwert der neuen Datenreihe x1, ... , x12 stimmt mit dem arithmetischen Mittelwert der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1128
AHS - 1_128 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Arithmetisches Mittel einer Datenreihe
Für das arithmetische Mittel einer Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{24}}{\text{ gilt }}\overline x = 115\). Die Standardabweichung der Datenreihe ist sx = 12. Die Werte einer zweiten Datenreihe \({y_1},\,\,{y_2},\,\,...,\,\,{y_{24}}\) entstehen, indem man zu den Werten der ersten Datenreihe jeweils 8 addiert, also \({y_1} = {x_1} + 8;\,\,\,\,\,{y_2} = {x_2} + 8\) usw.
Aufgabenstellung:
Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung sy der zweiten Datenreihe an!
Aufgabe 1230
AHS - 1_230 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sportwettbewerb
150 Grazer und 170 Wiener Schüler/innen nahmen an einem Sportwettbewerb teil. Der Vergleich der Listen der Hochsprungergebnisse ergibt für beide Schülergruppen das gleiche arithmetische Mittel von 1,05 m sowie eine empirische Standardabweichung für die Grazer von 0,22 m und für die Wiener von 0,3 m.
- Aussage 1: Die Sprunghöhen der Grazer Schüler/innen weichen vom arithmetischen Mittel nicht so stark ab wie die Höhen der Wiener Schüler/innen.
- Aussage 2: Das arithmetische Mittel repräsentiert die Leistungen der Grazer Schüler/innen besser als die der Wiener.
- Aussage 3: Die Standardabweichung der Grazer ist aufgrund der geringeren Teilnehmerzahl kleiner als die der Wiener.
- Aussage 4: Von den Sprunghöhen (gemessen in m) der Wiener liegt kein Wert außerhalb des Intervalls [0,45; 1,65].
- Aussage 5: Beide Listen haben den gleichen Median.
Aufgabenstellung
Entscheiden Sie, welche Aussagen aus den gegebenen Daten geschlossen werden können, und kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1495
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment wird durch eine binomialverteilte Zufallsvariable X beschrieben. Diese hat die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,36 und die Standardabweichung σ = 7,2.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den zugehörigen Parameter n (Anzahl der Versuche)!
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Aufgabe 1050
AHS - 1_050 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bernoulli-Experiment
Beim Realisieren eines Bernoulli-Experiments tritt Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p mit 0 < p < 1 ein. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der Erfolge beim n-maligen unabhängigen Wiederholen des Experiments. E bezeichnet den Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung.
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = \sqrt {n \cdot p}\)
- Aussage 2: \(V\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X = 0} \right) = 0\)
- Aussage 4:\(P\left( {X = 1} \right) = p\)
- Aussage5: \(V\left( X \right) = {\sigma ^2}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für n > 1 zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1378
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderung statistischer Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Liste mit neun Werten a1, a2, ... , a9. Der Wert a1 wird um 5 vergrößert, der Wert a9 wird um 5 verkleinert, die restlichen Werte der Liste bleiben unverändert. Durch die Abänderung der beiden Werte a1 und a9 kann sich eine neue, nicht geordnete Liste ergeben.
- Aussage 1: arithmetisches Mittel
- Aussage 2: Median
- Aussage 3: Modus
- Aussage 4: Spannweite
- Aussage 5: Standardabweichung
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste werden durch die genannten Änderungen in keinem Fall verändert? Kreuzen Sie die entsprechende(n) statistische(n) Kennzahl(en) an!
Aufgabe 1426
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine Liste mit n natürlichen Zahlen a1, a2, ... , an.
- Aussage 1: arithmetisches Mittel
- Aussage 2: Standardabweichung
- Aussage 3: Spannweite
- Aussage 4: Median
- Aussage 5: Modus
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste bleiben gleich, wenn jeder Wert der Liste um 1 erhöht wird? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
Aufgabe 1291
AHS - 1_291 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25.
x | P(x) |
0 | 0,1001 |
1 | 0,2670 |
2 | 0,3115 |
3 | 0,2076 |
4 | 0,0865 |
5 | 0,0231 |
6 | 0,0038 |
7 | 0,0004 |
8 | 0,00002 |
Aufgabenstellung:
μ ist der Erwartungswert, σ die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: \(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right)\)
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Aufgabe 1635
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen
In den nachstehenden Diagrammen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zweier Zufallsvariablen X und Y dargestellt. Die Erwartungswerte der Zufallsvariablen werden mit E(X) und E(Y), die Standardabweichungen mit σ (X) und σ (Y) bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = E\left( Y \right)\)
- Aussage 2: \(\sigma \left( X \right) > \sigma \left( Y \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \leqslant 3} \right) < P\left( {Y \leqslant 3} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( {3 \leqslant X \leqslant 7} \right) = P\left( {3 \leqslant Y \leqslant 7} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \leqslant 5} \right) = 0,3\)
Aufgabe 4158
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Die Adria-Wien-Pipeline - Aufgabe A_280
Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach Wien-Schwechat führt.
Teil a
Die folgende Tabelle gibt die nach Österreich importierten Rohölmengen in den Jahren 2006 bis 2014 an:
Jahr | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
importierte Rohölmenge in Mio. t |
7,7 | 7,6 | 7,9 | 7,4 | 6,8 | 7,3 | 7,4 | 7,8 | 7,5 |
Quelle: https://www.wko.at/branchen/industrie/mineraloelindustrie/jahresberichte.html
[22.11.2018]
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der importierten Rohölmengen für diesen Zeitraum in Millionen Tonnen.
[1 Punkt]
Aufgabe 1050
AHS - 1_050 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bernoulli-Experiment
Beim Realisieren eines Bernoulli-Experiments tritt Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p mit 0 < p < 1 ein. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der Erfolge beim n-maligen unabhängigen Wiederholen des Experiments. E bezeichnet den Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung.
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = \sqrt {n \cdot p}\)
- Aussage 2: \(V\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X = 0} \right) = 0\)
- Aussage 4:\(P\left( {X = 1} \right) = p\)
- Aussage5: \(V\left( X \right) = {\sigma ^2}\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für n > 1 zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 4092
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.
Teil c
Bei Maschine C sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm und der Standardabweichung σ = 0,03 mm. Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n untersucht.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie für n = 30 den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit sich die Breite des 99-%-Zufallsstreubereichs halbiert.
[1 Punkt]
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