Aufgabe 1426
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Statistische Kennzahlen
Gegeben ist eine Liste mit n natürlichen Zahlen a1, a2, ... , an.
- Aussage 1: arithmetisches Mittel
- Aussage 2: Standardabweichung
- Aussage 3: Spannweite
- Aussage 4: Median
- Aussage 5: Modus
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste bleiben gleich, wenn jeder Wert der Liste um 1 erhöht wird? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Arithmetisches Mittel
Lagemaß, errechnet sich aus der Summe aller erhobenen Werte, dividiert durch die Anzahl der Werte.
\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)
Median
Der Median med ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste.
Modus
Das ist jener Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe (in einer Stichprobe) vorkommt
Spannweite
Die Spannweite R (engl. range) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der geordneten Datenreihe.
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Mittelwert entfernt liegen, dh wie weit die einzelnen Messwerte um den Mittelwert streuen.
Lösungsweg
Laut Angabe wird jeder Wert der Liste um 1 erhöht.
zB: alte Liste: 1,3,5,9,10 → neue Liste: 2,4,6,10,11
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil sich das arithmetische Mittel erhöht, weil die Summe im Zähler um n höher wird, während die Zahl n im Nenner konstant bleibt.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil sich der Abstand der einzelnen Messwerte vom Mittelwert durch die jeweilige Verschiebung um 1 nach rechts auf der Gaußgeraden nicht verändert.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil sich die Differenz zwischen dem um jeweils 1 nach rechts auf der Gaußgeraden verschobenen größten und kleinsten Wert nicht ändert
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch weil der neue Median der um 1 erhöhte alte Median ist. Er ist aber noch immer der gleiche x-te Wert in der sortierten Liste, sein Betrag ist aber um 1 höher.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil der neue häufigste Wert in der Datenreihe um 1 höher sin muss, als der bisherige häufigste Wert. Die Anzahl, wie oft der Modus in der Datenreihe vorkommt ändert sich aber nicht.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.