Aufgabe 1127
AHS - 1_127 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Datenreihe
Der arithmetische Mittelwert \(\overline x\) der Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{10}}{\text{ ist }}\overline x = 20\). Die Standardabweichung σ der Datenreihe ist σ = 5. Die Datenreihe wird um die beiden Werte x11 = 19 und x12 = 21 ergänzt.
- Aussage 1: Das Maximum der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist größer als das Maximum der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 2: Die Spannweite der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist um 2 größer als die Spannweite der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 3: Der Median der neuen Datenreihe x1, ... , x12 stimmt immer mit dem Median der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.
- Aussage 4: Die Standardabweichung der neuen Datenreihe x1, ... , x12 ist kleiner als die Standardabweichung der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10.
- Aussage 5: Der arithmetische Mittelwert der neuen Datenreihe x1, ... , x12 stimmt mit dem arithmetischen Mittelwert der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Die "alte" Datenreihe umfasst 10 Werte, während die "neue" Datenreihe 12 Werte umfasst.
- Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Mittelwert entfernt liegen, dh wie weit die einzelnen Messwerte um den Mittelwert streuen. Sind alle einzelnen Messwerte gleich, dann ist die Standardabweichung null.
- Die Spannweite R (engl. range) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der geordneten Datenreihe.
- Der Median ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste.
Ein Beispiel mit 4 bzw. 4+2 Werten, zur Erläuterung warum Aussage 3 falsch ist:
- 16, 18, 20, 26 → Mittelwert= 20; Median = 19
- 16, 18, 19, 20, 21, 26 → Mittelwert= 20; Median = 19,5
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, wie sich an folgendem Gegenbeispiel mit etwas Kopfrechnen zeigen lässt: Die ursprüngliche Datenreihe mit 10 Werten sehe wir folgt aus: (15, 15, 15, 15, 15, 25, 25, 25, 25, 25). Der Mittelwert beträgt dann 20 und die Standardabweichung beträgt 5, genau so wie in der Angebe gefordert. Der Maximalwert der ursprünglichen Datenreihe ist 25.
Der größte neu hinzukommende Wert, nämlich 21, ist aber kleiner und nicht - wie in der Aussage gefordert - größer als 25, womit die Aussage falsch ist.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil die Spannweite der "alten" Datenreihe der Abstand zwischen Minimum und Maximum ist. Am Minimum oder am Maximum ändert sich aber durch die neuen Werte (19, 21) aber nichts, weil sie dazwischen liegen.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil das nur dann der Fall wäre, wenn 19 links und 21 rechts vom "alten" und damit zugleich "neuen" Median liegen, was aber nicht der Fall sein muss und wir den "alten" Median nicht kennen um das zu überprüfen.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil die beiden neuen Werte (19, 21) sehr nahe beim Mittelwert (20) liegen und somit kaum zur Streuung beitragen.
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil der Mittelwert der beiden neuen Werte (19, 21) gleich groß (20) ist, wie der Mittelwert der "alten" Datenreihe.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.