Aufgabe 4092
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.
Teil c
Bei Maschine C sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm und der Standardabweichung σ = 0,03 mm. Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n untersucht.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie für n = 30 den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit sich die Breite des 99-%-Zufallsstreubereichs halbiert.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Aus der Angabe wissen wir über die Grundgesamtheit aller hergestellten Stahlwellen:
- Normalverteilung
- Erwartungswert μ = 10,00 mm
- Standardabweichung σ = 0,03 mm
- Stichprobenumfang n=30
- Gesucht: symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen
Normalverteilung einer Stichprobe + zentraler Grenzwertsatz:
Der Erwartungswert und die Standardabweichung beziehen sich auf eine sehr große und zugleich bekannte Grundgesamtheit.
Hier ist aber nur von einer Stichprobe mit n=30 ausgegangen.
- Der Erwartungswert gilt, gemäß dem zentralen Grenzwertsatz, für die Grundgesamtheit und für die Stichprobe unverändert.
- Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit müssen wir aber auf den Standardfehler σS der Stichprobeumrechnen. Dies geschieht indem wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit durch die Wurzel vom Stichprobenumfang dividieren.
Wir rechnen daher wie folgt:
\(\begin{array}{l} \mu = 10,00{\rm{ mm}}\\ {\sigma _S} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }} = \dfrac{{0,03}}{{\sqrt {30} }}{\rm{ = 0}}{\rm{,00548mm}}\\ \\ \Phi \left( z \right) = 0,99 \to {\rm{Tabelle}} \to z = 2,575\\ \\ z = \dfrac{{x - \mu }}{\sigma } \to x = \eta \pm z \cdot \sigma = 10 \pm 2,575 \cdot {\rm{0}}{\rm{,00548}}\\ {x_1} = 9,986\\ {{\rm{x}}_2}{\rm{ = 10}}{\rm{,014}}\\ \\ \left[ {9,986,10,014} \right] \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Wie muss sich der Stichprobenumfang n ändern, damit sich die Breite des 99-%-Zufallsstreubereichs halbiert?
\(\begin{array}{l} {\sigma _S} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt n }}{\rm{ = 0}}{\rm{,00548mm}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 0,5} \right.\\ 0,5 \cdot {\sigma _S} = \dfrac{\sigma }{{2 \cdot \sqrt n }} = \dfrac{{0,00548}}{2} = \dfrac{\sigma }{{\sqrt {4 \cdot n} }} \end{array}\)
→ Eine Halbierung der Breite erfordert, dass der Stichprobenumfang mit dem Faktor 4 multipliziert wird.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
[9,985...; 10,014...]
2. Teilaufgabe:
Eine Halbierung der Breite erfordert, dass der Stichprobenumfang mit dem Faktor 4 multipliziert wird.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: Für die richtige Berechnung des Zufallsstreubereichs (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × C: Für die richtige Angabe des Faktors (KA)