Aufgabe 1378
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderung statistischer Kennzahlen
Gegeben ist eine geordnete Liste mit neun Werten a1, a2, ... , a9. Der Wert a1 wird um 5 vergrößert, der Wert a9 wird um 5 verkleinert, die restlichen Werte der Liste bleiben unverändert. Durch die Abänderung der beiden Werte a1 und a9 kann sich eine neue, nicht geordnete Liste ergeben.
- Aussage 1: arithmetisches Mittel
- Aussage 2: Median
- Aussage 3: Modus
- Aussage 4: Spannweite
- Aussage 5: Standardabweichung
Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste werden durch die genannten Änderungen in keinem Fall verändert? Kreuzen Sie die entsprechende(n) statistische(n) Kennzahl(en) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil sich der Mittelwert nicht ändert, da gilt: \(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_8} + {x_9}}}{9} = \dfrac{{{x_1} + 5 + ... + {x_9} - 5}}{9}\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil sich eine neue, anders sortierte Liste ergeben kann, bei der ein anderer Wert in der Mitte stehen kann. Darauf wird in der Angabe auch hingewiesen.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil 2 neue Werte (a1+5 bzw. a9-5) hinzukommen (und 2 alte Werte entfallen). Dadurch kann ein anderer Wert am häufigsten in der Stichprobe vorkommen.
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil sich das bisherige Minimum a1 auf a1+5 erhöht, während sich das bisherige Maximum a9 auf a9-5 reduziert. Dadurch muss sich der Abstand zwischen Minimum und Maximum verkleinern.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil sich das bisherige Minimum a1 auf a1+5 erhöht, während sich das bisherige Maximum a9 auf a9-5 reduziert. Dadurch ändert sich die Streuung der Werte um den Mittelwert und entsprechend ändert sich die Standardabweichung.
Arithmetisches Mittel
Lagemaß, errechnet sich aus der Summe aller erhobenen Werte, dividiert durch die Anzahl der Werte.
\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)
Median
Der Median med ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste.
Modus
Das ist jener Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe (in einer Stichprobe) vorkommt
Spannweite
Die Spannweite R (engl. range) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert der geordneten Datenreihe.
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Mittelwert entfernt liegen, dh wie weit die einzelnen Messwerte um den Mittelwert streuen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.